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“2年高考1年模拟”课时精练（二十八） 简单的三角恒等变换
1.已知sin 2α=，则cos2= (　　)
A. B.
C. D.
2.已知sin=，则sin 2θ的值为 (　　)
A. B.-
C. D.-
3.式子化简的结果为 (　　)
A. B.1
C.2sin 9° D.2
4.已知α是钝角，且sin-cos=，则tan α= (　　)
A.- B.-
C.- D.-
5.(2025·宜春模拟)已知α∈，tan=tan，则= (　　)
A.6+4 B.6-4
C.17+12 D.17-12
6.设0<θ<，若+cos 2θ=3，则θ= (　　)
A.- B.
C. D.
7.[多选]已知<α<，-<β<0，且sin α+sin β=(cos α+cos β)，则下列结论可能正确的是 (　　)
A.cos(α-β)=-1 B.sin(α-β)=0
C.cos(α+β)=- D.sin(α+β)=-
8.已知tan β=，tan=.若β∈，则β= (　　)
A. B.
C. D.
9.=　　　　　.
10.(2025·河南联考)写出使等式+=2成立的一个α的值　　　　.
11.(2024·淄博二模)设β∈，若sin α=3sin(α+2β)，tan β=，则tan(α+2β)=　　　　.
12.如图所示，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(，-1)，∠AOC=α.若|BC|=，则cos2-sin cos-的值为　　　　　.
13.(2025·青岛模拟)由倍角公式cos 2x=2cos2x-1，可知cos 2x可以表示为cos x的二次多项式.对于cos 3x，我们有cos 3x=cos(2x+x)=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2sin xcos xsin x=2cos3x-cos x-2(1-cos2x)cos x=4cos3x-3cos x.可见cos 3x可以表示为cos x的三次多项式.
一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cos nx=Pn(cos x)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式.
(1)请尝试求出P4(t)，即用一个cos x的四次多项式来表示cos 4x；
(2)利用结论cos 3x=4cos3x-3cos x，求出sin 18°的值.
14.已知函数f(x)=sinsin x-.
(1)若α∈(0，π)，f=，求α的值.
(2)若β∈，f(β)=-，求cos的值.
15.已知cos α=，tan β=，其中α，β∈.
(1)求α+β的值；
(2)设函数f(x)=coscos+sinsin，当x0∈且f=时，求f的值.
（解析）精练（二十八） 简单的三角恒等变换
1.已知sin 2α=，则cos2= (　　)
A. B.
C. D.
解析:选D　因为sin 2α=，所以cos2====，故选D.
2.已知sin=，则sin 2θ的值为 (　　)
A. B.-
C. D.-
解析:选B　由sin=，得sin=sin θcos -cos θsin =(sin θ-cos θ)=，即sin θ-cos θ=，等式两边同时平方，得1-sin 2θ=，所以sin 2θ=-.
3.式子化简的结果为 (　　)
A. B.1
C.2sin 9° D.2
解析:选B　原式=
====1.
4.已知α是钝角，且sin-cos=，则tan α= (　　)
A.- B.-
C.- D.-
解析:选D　因为sin-cos=，等式两边平方可得=sin2+cos2-2sincos=1-sin α=，所以sin α=.又因为α是钝角，则cos α=-=-=-，因此，tan α==×=-.故选D.
5.(2025·宜春模拟)已知α∈，tan=tan，则= (　　)
A.6+4 B.6-4
C.17+12 D.17-12
解析:选A　因为α∈，tan=tan，所以=×，tan α<-1，解得tan α=-3-2或tan α=-3+2(舍去)，则==(tan2α-2tan α+1)=(tan α-1)2=(-3-2-1)2=6+4.故选A.
6.设0<θ<，若+cos 2θ=3，则θ= (　　)
A.- B.
C. D.
解析:选B　由题意+cos 2θ=3，则1+2sin θcos θ+cos 2θ=3，即sin 2θ+cos 2θ=2，故2sin=2，即sin=1，由于0<θ<，所以2θ+∈，则2θ+=，即θ=，故选B.
7.[多选]已知<α<，-<β<0，且sin α+sin β=(cos α+cos β)，则下列结论可能正确的是 (　　)
A.cos(α-β)=-1 B.sin(α-β)=0
C.cos(α+β)=- D.sin(α+β)=-
解析:选ABC　∵sin α+sin β=(cos α+cos β)，∴sin α-cos α+sin β-cos β=0，
∴2sin+2sin=0，
∴2sin=-2sin=2sin.
又<α<，-<β<0，则<α-<，-<β-<-，∴<-β<.
当α-=-β，即α+β=时，cos=-，sin=，C正确，D不正确；当α-+-β=π，即α-β=π时，cos(α-β)=-1，sin=0，sin=sin=-sin 2β，-π<2β<0，sin=-sin 2β>0，A、B正确，D不正确.
8.已知tan β=，tan=.若β∈，则β= (　　)
A. B.
C. D.
解析:选C　因为tan α=tan(α+β-β)=，又已知tan β=，tan=，
所以tan α====.因为sin2α+cos2α=1，所以tan α=0，所以α=kπ，k∈Z.所以当k为奇数时，cos α=-1，sin α=0.当k为偶数时，cos α=1，sin α=0.因为tan β=，所以tan β=±1.因为β∈，所以β=.
9.=　　　　　.
解析:=
===.
答案:
10.(2025·河南联考)写出使等式+=2成立的一个α的值　　　　.
解析:由+
=
==2，
得sin=sin，
所以+=(2k+1)π(k∈Z)，
解得α=kπ+(k∈Z)，
当k=0时，α=，所以可取α=(答案不唯一).
答案:(答案不唯一)
11.(2024·淄博二模)设β∈，若sin α=3sin(α+2β)，tan β=，则tan(α+2β)=　　　　.
解析:由sin α=3sin(α+2β)，得sin [(α+2β)-2β]=3sin(α+2β)，则sin(α+2β)cos 2β-cos(α+2β)sin 2β=3sin(α+2β)，即sin(α+2β)(cos 2β-3)=cos(α+2β)sin 2β，因此tan(α+2β)====-，而tan β=，所以tan(α+2β)=-=-.
答案:-
12.如图所示，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(，-1)，∠AOC=α.若|BC|=，则cos2-sin cos-的值为　　　　　.
解析:∵点B的坐标为，则==.设∠AOB=θ，∠BOC=β，则θ，β∈，∴sin==-， sin θ=.∵∠AOC=α，=，|OB|=|OC|=，∴θ+α=，则α=-θ，cos2-sin cos-=-·2sin cos =cos α-sin α=sin=sin=sin θ=.
答案:
13.(2025·青岛模拟)由倍角公式cos 2x=2cos2x-1，可知cos 2x可以表示为cos x的二次多项式.对于cos 3x，我们有cos 3x=cos(2x+x)=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2sin xcos xsin x=2cos3x-cos x-2(1-cos2x)cos x=4cos3x-3cos x.可见cos 3x可以表示为cos x的三次多项式.
一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cos nx=Pn(cos x)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式.
(1)请尝试求出P4(t)，即用一个cos x的四次多项式来表示cos 4x；
(2)利用结论cos 3x=4cos3x-3cos x，求出sin 18°的值.
解:(1)cos 4x=cos(2×2x)=2cos22x-1=2(2cos2x-1)2-1=2(4cos4x-4cos2x+1)-1=8cos4x-8cos2x+1.
(2)∵sin 36°=cos 54°，
∴2sin 18°cos 18°=4cos318°-3cos 18°，
∴2sin 18°=4cos218°-3，∴4sin218°+2sin 18°-1=0，
∴sin 18°=或sin 18°=(舍去).
∴sin 18°的值为.
14.已知函数f(x)=sinsin x-.
(1)若α∈(0，π)，f=，求α的值.
(2)若β∈，f(β)=-，求cos的值.
解:(1)f(x)=sinsin x-
=sin x-
=sin2x+sin xcos x-
=sin 2x-cos 2x
==sin.
∵f=，∴sin=.又α∈(0，π)，则-<α-<，∴α-=，α=.
(2)∵f(β)=-，∴sin=2 f(β)=-.
又2β-=-，
∴sin=-，
解得cos=.
又cos=2cos2-1，
化简得cos2=.
又β∈，∴β+∈，
∴cos=-.
15.已知cos α=，tan β=，其中α，β∈.
(1)求α+β的值；
(2)设函数f(x)=coscos+sinsin，当x0∈且f=时，求f的值.
解:(1)由题意可知cos α= sin α==，tan β==，
又sin2β+cos2β=1，β∈，所以sin β=，cos β=，所以cos=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.因为α，β∈ 0<α+β<π，所以α+β=.
(2)由(1)可知f(x)=coscos+sinsin=cos=cos 2x，易知f=cos=，
又x0∈ 2x0∈，2x0+∈，所以sin==，故f=cos 2x0=cos=cos+sin=×+×=.
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