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“2年高考1年模拟”课时精练（二十） 导数与函数的极值、最值
1.(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)=(x2-x+1)ex(e为自然对数的底数)，则函数f(x)的极小值为 (　　)
A. B.e
C.e2 D.1
2.(2025·遂宁模拟)已知函数f(x)=x(x-m)2在x=1处有极大值，则m的值为 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.1或3
3.(2025·金华一模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的部分图象如图所示，则以下可能成立的是 (　　)
A.a=2，b=1 　　B.a=-1，b=2
C.a=-2，b=1 　　D.a=2，b=-1
4.已知函数f(x)=-x2+ax+1在[1，2]上的最大值也是其在[1，2]上的极大值，则a的取值范围是 (　　)
A.[2，+∞) B.[4，+∞)
C.[2，4] D.(2，4)
5.(2025·榆林期末)若函数f(x)=+ln x-a存在最小值，且其最小值记为g(a)，则g(a)的最大值是 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
6.(2023·全国乙卷)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，-2) B.(-∞，-3)
C.(-4，-1) D.(-3，0)
7.(2025·惠州模拟)已知函数f(x)=ax2-2x+ln x有两个不同的极值点x1，x2，则f(x1)+f(x2)的取值范围为 (　　)
A.(-∞，-) B.(-∞，-]
C.(-∞，-3) D.(-∞，-3]
8.(2025·通化模拟)[多选]已知函数ft(x)=(t∈R，t≠0)，则下列判断不正确的是 (　　)
A.直线y=ex-1与曲线y=ft(x)相切
B.函数ft(x)只有极大值，无极小值
C.若t1与t2互为相反数，则(x)的极值与(x)的极值互为相反数
D.若t1与t2互为倒数，则(x)的极值与(x)的极值互为倒数　
9.[多选]已知函数f(x)=x3+bx2+cx，则下列结论正确的是 (　　)
A.若x=x0是f(x)的极小值点，则f(x)在(-∞，x0)上单调递减
B.若x=b是f(x)的极大值点，则b<0且c<0
C.若c=3，且f(x)的极小值大于0，则b的取值范围为(-2，-)
D.若c=-3b，且f(x)在[0，3]上的值域为[0，9]，则b的取值范围为[-3，0]　
10.若函数f(x)=x3-2cx2+x有两个极值点，则实数c的取值范围为　　　　　　　　.
11.(2025·徐州模拟)已知函数f(x)=(a，b∈N*)的极小值点为2，则f(x)的极大值点为　　　　 .
12.甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元.为使全程运输成本最小，汽车应以　　　　 km/h的速度行驶.
13.设函数f(x)=e2x-2x.
(1)求f(x)的单调区间与极小值；
(2)求f(x)在[-1，1]上的值域.
14.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1，b=-2，求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程；
(2)若x=1是f(x)的极小值点，求b的取值范围.
15.(2025·铜川模拟)已知函数h(x)=2x3+3x2-12x+m(m∈R)的一个极值为-2.
(1)求实数m的值；
(2)若函数h(x)在区间上的最大值为18，求实数k与m的值.
（解析）精练（二十） 导数与函数的极值、最值
1.(2025·邵阳模拟)已知函数f(x)=(x2-x+1)ex(e为自然对数的底数)，则函数f(x)的极小值为 (　　)
A. B.e
C.e2 D.1
解析：选D　因为f(x)=(x2-x+1)ex，x∈R，所以f'(x)=(x2+x)ex=x(x+1)ex.当x>0或x<-1时f'(x)>0，当-12.(2025·遂宁模拟)已知函数f(x)=x(x-m)2在x=1处有极大值，则m的值为 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.1或3
解析：选C　∵f'(x)=(x-m)(3x-m)，∴f'(1)=(1-m)(3-m)=0，∴m=1或m=3.当m=1时，f'(x)=(x-1)(3x-1)，令f'(x)>0，得x<或x>1；令f'(x)<0，得3.(2025·金华一模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的部分图象如图所示，则以下可能成立的是 (　　)
A.a=2，b=1 　　B.a=-1，b=2
C.a=-2，b=1 　　D.a=2，b=-1
解析：选C　因为f(x)=x3+ax2+bx+c，所以f'(x)=3x2+2ax+b，由题图可知f(x)在(0，+∞)上有两个极值点，即f'(x)=0有两个不同的正根，则可得对比选项可知A、B、D错误，C正确.
4.已知函数f(x)=-x2+ax+1在[1，2]上的最大值也是其在[1，2]上的极大值，则a的取值范围是 (　　)
A.[2，+∞) B.[4，+∞)
C.[2，4] D.(2，4)
解析：选D　f'(x)=a-2x，令f'(x)=0，得x=，x<时，f'(x)>0，f(x)单调递增，x>时，f'(x)<0，f(x)单调递减，因此是f(x)的极大值点.由于只有一个极值点，因此其也是最大值点，由题意得∈(1，2)，所以a∈(2，4).
5.(2025·榆林期末)若函数f(x)=+ln x-a存在最小值，且其最小值记为g(a)，则g(a)的最大值是 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：选A　因为f(x)=+ln x-a，所以f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-+=，当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在定义域上单调递增，不满足题意；当a>0时，令f'(x)<0得00得x>a，此时f(x)单调递增，所以当x=a时，f(x)取得最小值，即g(a)=f(a)=1+ln a-a，g'(a)=-1=.令g'(a)>0得01，此时g(a)单调递减，所以当a=1时，g(a)取得最大值，即g(a)max=g(1)=0.故选A.
6.(2023·全国乙卷)函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，-2) B.(-∞，-3)
C.(-4，-1) D.(-3，0)
解析：选B　由题意知f'(x)=3x2+a，要使函数f(x)存在3个零点，则f'(x)=0要有2个不同的根，则a<0.令3x2+a=0，解得x=± .令f'(x)>0，则x<-或x>，令f'(x)<0，则-则即解得>1，即a<-3.故选B.
7.(2025·惠州模拟)已知函数f(x)=ax2-2x+ln x有两个不同的极值点x1，x2，则f(x1)+f(x2)的取值范围为 (　　)
A.(-∞，-) B.(-∞，-]
C.(-∞，-3) D.(-∞，-3]
解析：选C　由f(x)=ax2-2x+ln x(x>0)，求导得f'(x)=2ax-2+=，由函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2，得方程2ax2-2x+1=0有两个不相等的正实根，则解得00，h(a)在上单调递增，则h(a)8.(2025·通化模拟)[多选]已知函数ft(x)=(t∈R，t≠0)，则下列判断不正确的是 (　　)
A.直线y=ex-1与曲线y=ft(x)相切
B.函数ft(x)只有极大值，无极小值
C.若t1与t2互为相反数，则(x)的极值与(x)的极值互为相反数
D.若t1与t2互为倒数，则(x)的极值与(x)的极值互为倒数　
解析：选ABD　易知ft'(x)=，令ft'(x)=0，可得ln x=，所以xt=e.对于A，因为ft'(1)=1，ft(1)=0，所以点(1，0)处的切线方程为y=x-1，即A错误；对于B，当t<0时，令f't(x)>0，得x>，此时ft(x)单调递增，当09.[多选]已知函数f(x)=x3+bx2+cx，则下列结论正确的是 (　　)
A.若x=x0是f(x)的极小值点，则f(x)在(-∞，x0)上单调递减
B.若x=b是f(x)的极大值点，则b<0且c<0
C.若c=3，且f(x)的极小值大于0，则b的取值范围为(-2，-)
D.若c=-3b，且f(x)在[0，3]上的值域为[0，9]，则b的取值范围为[-3，0]　
解析：选BCD　由题意，得f'(x)=x2+2bx+c.若x=x0是f(x)的极小值点，则Δ=4b2-4c>0，故f'(x)=0有两个不相等的实数根，因此函数f(x)既有极大值也有极小值，故由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，f(x)在(-∞，x0)上不具有单调性，A错误.若x=b是f(x)的极大值点，则f'(b)=b2+2b2+c=0，所以c=-3b2，f'(x)=x2+2bx-3b2=(x+3b)(x-b).若b=0，则f(x)没有极值点.从而f'(x)=0的解为x=-3b或x=b.因为x=b是f(x)的极大值点，所以b<-3b，即b<0，c=-3b2<0，B正确.若c=3，则f(x)=x3+bx2+3x=x，f'(x)=x2+2bx+3.因为f(x)的极小值大于0，所以f(x)只有一个零点，且f(x)的极大值点与极小值点均大于0，所以方程x2+bx+3=0无实数根，且方程f'(x)=x2+2bx+3=0的2个实数根均大于0，所以解得-20，解得b<-3或b>0，此时f'(x)=0的2个解为x1=-b-，x2=-b+.当b>0时，x1<0，x2>0，所以f(x)在(0，x2)上单调递减，即当x∈(0，x2)时，f(x)<0，不符合题意.当b<-3时，0f(3)=9，不符合题意.综上，若c=-3b，且f(x)在[0，3]上的值域为[0，9]，则b的取值范围为[-3，0]，D正确.
10.若函数f(x)=x3-2cx2+x有两个极值点，则实数c的取值范围为　　　　　　　　.
解析：若函数f(x)=x3-2cx2+x有两个极值点，则f'(x)=3x2-4cx+1=0有两个不相等的实根，
故Δ=(-4c)2-12>0，解得c>或c<-.
所以实数c的取值范围为∪.
答案：∪
11.(2025·徐州模拟)已知函数f(x)=(a，b∈N*)的极小值点为2，则f(x)的极大值点为　　　　 .
解析：由题意，得f'(x)=，因为函数f(x)的极小值点为2，所以f'(2)==0，即-4a+(2a+3)×2-(b+3)=0，解得b=3，则f'(x)==，令f'(x)=0，则x=或x=2，因为a∈N*，函数f(x)的极小值点为2，所以f(x)在(-∞，2)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，从而>2，所以0答案：3
12.甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元.为使全程运输成本最小，汽车应以　　　　 km/h的速度行驶.
解析：设全程运输成本为y元，由题意，得y==240，v>0，y'=240.令y'=0，得v=80.当v>80时，y'>0；当0答案：80
13.设函数f(x)=e2x-2x.
(1)求f(x)的单调区间与极小值；
(2)求f(x)在[-1，1]上的值域.
解：(1)由f(x)=e2x-2x，得f'(x)=2e2x-2，
令f'(x)>0，得e2x>1，x>0，即f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；
令f'(x)<0，得e2x<1，x<0，即f(x)的单调递减区间为(-∞，0)，
则f(x)的极小值为f(0)=1.
(2)由(1)可知f(x)在[-1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，f(1)=e2-2>f(-1)=+2，
故f(x)在[-1，1]上的最大值为f(1)=e2-2，最小值为f(0)=1，
故f(x)在[-1，1]上的值域为[1，e2-2].
14.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1，b=-2，求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程；
(2)若x=1是f(x)的极小值点，求b的取值范围.
解：(1)当a=1，b=-2时，f(x)=ln x--x，其中x>0，则f'(x)=+-1=，令f'(x)=2 =2，
化简得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0，解得x=1(负值舍去)，又此时f(1)=-3，则切线过点(1，-3)，结合切线斜率为2，
则切线方程为y+3=2(x-1)，即2x-y-5=0.
(2)由题可得f(x)定义域为(0，+∞)，
f'(x)=--1=，
由x=1是f(x)的极小值点，则f'(1)=-1+a-b=0 a=b+1，
则f'(x)==-.
若b≤0，令f'(x)>0 x∈(0，1)，令f'(x)<0 x∈(1，+∞)，则f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
得x=1是f(x)的极大值点，不满足题意；
若00 x∈(b，1)，令f'(x)<0 x∈(0，b)∪(1，+∞)，
则f(x)在(b，1)上单调递增，在(0，b)，(1，+∞)上单调递减，
得x=1是f(x)的极大值点，不满足题意；
若b=1，则f'(x)=-≤0，
f(x)在(0，+∞)上单调递减，无极值，不满足题意；
若b>1，令f'(x)>0 x∈(1，b)，令f'(x)<0 x∈(0，1)∪(b，+∞)，
则f(x)在(1，b)上单调递增，在(0，1)，(b，+∞)上单调递减，得x=1是f(x)的极小值点，满足题意.综上，x=1是f(x)的极小值点时，b>1，即b的取值范围为(1，+∞).
15.(2025·铜川模拟)已知函数h(x)=2x3+3x2-12x+m(m∈R)的一个极值为-2.
(1)求实数m的值；
(2)若函数h(x)在区间上的最大值为18，求实数k与m的值.
解：(1)由h(x)=2x3+3x2-12x+m(m∈R)，得h'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)，
令h'(x)=0，得x=-2或x=1；令h'(x)<0，得-20，得x<-2或x>1.
所以函数h(x)有两个极值h(-2)和h(1).
若h(-2)=-2，得2×(-2)3+3×(-2)2-12×(-2)+m=-2，解得m=-22；
若h(1)=-2，得2×13+3×12-12×1+m=-2，解得m=5.综上，实数m的值为-22或5.
(2)由(1)得，h'(x)，h(x)在区间上的变化情况如下表所示：
x (-∞，-2) -2 (-2，1) 1
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) 单调 递增 极大值 m+20 单调 递减 极小值 m-7 单调 递增 m-
由表可知，
①当1≤k<时，函数h(x)在区间上单调递增，所以最大值为h=m-，
其值为-或，不符合题意；
②当k=-2时，函数h(x)在(-2，1)上单调递减，在上单调递增，
因为h(-2)=20+m，h=m-，h(-2)>h，所以h(x)在上的最大值为h(-2)=m+20，其值为-2或25，不符合题意；
③当k<-2时，函数h(x)在(k，-2)上单调递增，在(-2，1)上单调递减，在上单调递增，
因为h(-2)=20+m，h=m-，h(-2)>h，所以h(x)在上的最大值为h(-2)=m+20，其值为-2或25，不符合题意；
④当-2若h(x)在区间上的最大值为h=m-，其值为或-，不符合题意；
又因为若m=-22，则h(-2)=m+20=-2，那么，函数h(x)在区间上的最大值只可能小于-2，不符合题意.
所以要使函数h(x)在区间上的最大值为18，
必须使h(k)=2k3+3k2-12k+m=18，且m=5，
即h(k)=2k3+3k2-12k+5=18.所以2k3+3k2-12k-13=0，
所以2k3+2k2+k2+k-13k-13=2k2(k+1)+k(k+1)-13(k+1)=(2k2+k-13)(k+1)=0.所以2k2+k-13=0或k+1=0，所以k=或k=1.因为-2综上，实数k的值为-1，m的值为5.
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