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“2年高考1年模拟”课时精练（八） 函数的单调性与最大（小）值
1.下列函数在区间(0，+∞)上单调递增的是 (　　)
A.y= B.y=
C.y=x2 D.y=lox
2.函数f(x)=2x+sinx在[0，1]上的取值范围为 (　　)
A.[1，2] B.[1，3]
C.[2，3] D.[2，4]
3.若函数f(x)=2+3在区间[1，+∞)上不具有单调性，则a的取值范围是 (　　)
A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.(-∞，1) D.(-∞，1]
4.[多选]关于函数f(x)=的结论，下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的单调递增区间是[-1，1]
B.f(x)的单调递减区间是[1，+∞)
C.f(x)的最大值为2
D.f(x)没有最小值
5.已知函数f(x)=在R上单调递减，则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，0] B.[-1，0]
C.[-1，1] D.[1，+∞)
6.若函数f(x)=，记a=f，b=f(3-0.5)，c=f，则 (　　)
A.aC.c7.(2025·龙岩期末)已知函数f(x)=若f(x)的值域为[2，6]，则实数c的取值范围是 (　　)
A. B.
C.[-1，0) D.
8.(2024·黄山三模)已知函数f(x)=log2(x+)，则对任意实数a，b，“a+b≤0”是“f(a)+f(b)≤0”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.(2025·张家口模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的mA.[-3，-1]∪[0，1]
B.[-2，2]
C.(-∞，-3)∪(-2，0)∪(2，+∞)
D.[-3，-1]∪(0，1]
10.函数y=-x(x≥0)的最大值为　　　　.
11.已知函数f(x)=-x|x|+2x，则f(x)的单调递增区间为　　　　；若x∈[-2，1]，则f(x)的最小值为　　　　.
12.设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，则不等式f(x)+f(-2)>1的解集为　　　　　　　.
13.已知f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2，试证f(x)在(-∞，-2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)上单调递减，求a的取值范围.
14.(2025·日照模拟)已知f(x)定义在[-1，1]上且f(-x)=-f(x)，f(1)=1，当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有>0.
(1)试判断函数f(x)在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明该结论；
(2)设(3)若f(1-x2)+f(2-x)<0，求x的取值范围.
15.若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数g(x)=x+是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数f(x)=2x-1在定义域[m，n](m>0)上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
(3)已知函数h(x)=(x-a)2在定义域上为“依赖函数”，若存在实数x∈，使得对任意的t∈R，不等式h(x)≥-t2+(s-t)x+4都成立，求实数s的最大值.
（解析）精练（八） 函数的单调性与最大（小）值
1.下列函数在区间(0，+∞)上单调递增的是 (　　)
A.y= B.y=
C.y=x2 D.y=lox
解析：选C　y=在(0，+∞)上单调递减，故A错误；y=在R上单调递减，故B错误；y=x2在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减，故C正确；y=lox在(0，+∞)上单调递减，故D错误.故选C.
2.函数f(x)=2x+sinx在[0，1]上的取值范围为 (　　)
A.[1，2] B.[1，3]
C.[2，3] D.[2，4]
解析：选B　易知函数f(x)=2x+sinx在[0，1]上单调递增，且f(0)=1，f(1)=3，所以f(x)在[0，1]上的取值范围为[1，3].故选B.
3.若函数f(x)=2+3在区间[1，+∞)上不具有单调性，则a的取值范围是 (　　)
A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.(-∞，1) D.(-∞，1]
解析：选B　因为函数f(x)=2+3在上单调递减，在上单调递增，所以当函数f(x)=2+3在区间[1，+∞)上不具有单调性，则有11.
4.[多选]关于函数f(x)=的结论，下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的单调递增区间是[-1，1]
B.f(x)的单调递减区间是[1，+∞)
C.f(x)的最大值为2
D.f(x)没有最小值
解析：选AC　要使函数有意义，有-x2+2x+3≥0，解得-1≤x≤3，可知B错误；当x=-1或x=3时，-x2+2x+3=0，此时函数有最小值0，可知D错误；令y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，根据复合函数的单调性可知A正确；根据函数的单调性及定义域，可知f(x)max=f(1)=2，从而C正确.
5.已知函数f(x)=在R上单调递减，则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞，0] B.[-1，0]
C.[-1，1] D.[1，+∞)
解析：选D　显然y=-ln(x+1)在x∈[0，+∞)上单调递减，要使f(x)=在R上单调递减，则解得a≥1.
6.若函数f(x)=，记a=f，b=f(3-0.5)，c=f，则 (　　)
A.aC.c解析：选B　注意到f(x)的定义域为全体实数，且f(-x)==f(x)，所以f(x)是R上的偶函数，从而a=f=f，c=f=f(log52).因为y=x2+1在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=在(0，+∞)上单调递减，而07.(2025·龙岩期末)已知函数f(x)=若f(x)的值域为[2，6]，则实数c的取值范围是 (　　)
A. B.
C.[-1，0) D.
解析：选A　对于函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2，当x=3时，y=6，当x=1时，y=2，而-≠0，即有-+2≠2，依题意可得c≤1，又c2-2c+3≤6，解得-1≤c≤3，所以-1≤c≤1.当0≤c≤1时，函数f(x)在(-∞，0)上的取值集合为(2，+∞)，不符合题意，当-1≤c<0时，函数f(x)=-+2在(-∞，c)上单调递增，则2<-+2<-+2，所以解得-1≤c≤-，所以实数c的取值范围是.故选A.
8.(2024·黄山三模)已知函数f(x)=log2(x+)，则对任意实数a，b，“a+b≤0”是“f(a)+f(b)≤0”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选C　f(x)的定义域为R，且在R上是增函数，因为f(-x)=log2(-x+)=log2(-x+)，f(x)+f(-x)=log2(x+)+log2(-x+)=log2[(x+)×(-x+)]=log21=0，所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，所以由a+b≤0得a≤-b，所以f(a)≤f(-b)=-f(b)，所以f(a)+f(b)≤0，反之，由f(a)+f(b)≤0得f(a)≤-f(b)=f(-b)，所以a≤-b，a+b≤0.所以“a+b≤0”是“f(a)+f(b)≤0”的充要条件，故选C.
9.(2025·张家口模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的mA.[-3，-1]∪[0，1]
B.[-2，2]
C.(-∞，-3)∪(-2，0)∪(2，+∞)
D.[-3，-1]∪(0，1]
解析：选D　对任意的m所以=≥0，
则或或x=-1，
即或
或x=-1，解得x∈[-3，-1]∪(0，1]，故选D.
10.函数y=-x(x≥0)的最大值为　　　　.
解析：令t=，则t≥0，所以y=t-t2=-+，当t=，即x=时，ymax=.
答案：
11.已知函数f(x)=-x|x|+2x，则f(x)的单调递增区间为　　　　；若x∈[-2，1]，则f(x)的最小值为　　　　.
解析：函数f(x)的定义域为R，且f(-x)=x|x|-2x=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数.当x≥0时，f(x)=-x2+2x，由二次函数性质得函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减.由奇函数在对称区间的单调性一致得，函数f(x)在[-1，0]上单调递增，且f(0)=0，所以f(x)的单调递增区间为[-1，1].同样根据奇函数的对称性可得函数f(x)在[-2，-1]上单调递减.所以在[-2，1]上f(x)的最小值为f(-1)=1×1+2×(-1)=-1.
答案：[-1，1]　-1
12.设f(x)是定义在R上的增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1，则不等式f(x)+f(-2)>1的解集为　　　　　　　.
解析：由已知条件可得f(x)+f(-2)=f(-2x)，又f(3)=1，∴不等式f(x)+f(-2)>1可化为f(-2x)>f(3).∵f(x)是定义在R上的增函数，∴-2x>3，解得x<-.
∴不等式的解集为.
答案：
13.已知f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2，试证f(x)在(-∞，-2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)上单调递减，求a的取值范围.
解：(1)证明：设x1∵(x1+2)(x2+2)>0，x1-x2<0，∴f(x1)∴f(x)在(-∞，-2)上单调递增.
(2)f(x)===1+，
当a>0时，f(x)在(-∞，a)，(a，+∞)上单调递减，又f(x)在(1，+∞)上单调递减，
∴014.(2025·日照模拟)已知f(x)定义在[-1，1]上且f(-x)=-f(x)，f(1)=1，当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有>0.
(1)试判断函数f(x)在[-1，1]上是增函数还是减函数，并证明该结论；
(2)设(3)若f(1-x2)+f(2-x)<0，求x的取值范围.
解：(1)f(x)在[-1，1]上是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[-1，1]，且x1于是f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=·(x1-x2).
由已知>0，x1-x2<0，则f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)(2)证明：由(1)得f(x)在[-1，1]上的最大值为f(1)=1，则f(x)≤f(1)=1，
又1，综上，f(x)<3x.
(3)由f(1-x2)+f(2-x)<0，
得f(1-x2)<-f(2-x).
又f(-x)=-f(x)，则f(1-x2)由(1)知f(x)在[-1，1]上是增函数，
∴ 即x的取值范围是.
15.若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数g(x)=x+是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数f(x)=2x-1在定义域[m，n](m>0)上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
(3)已知函数h(x)=(x-a)2在定义域上为“依赖函数”，若存在实数x∈，使得对任意的t∈R，不等式h(x)≥-t2+(s-t)x+4都成立，求实数s的最大值.
解：(1)g(x)=x+不是“依赖函数”.理由如下：
当x>0时，x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号；
当x<0时x+=-≤-2=-2，当且仅当-x=，即x=-1时取等号.
所以g(x)∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，
所以存在x1=1，g(x1)=2，则g(x2)=无解，故g(x)=x+不是“依赖函数”.
(2)因为f(x)=2x-1在[m，n](m>0)上单调递增，故f(m)f(n)=1，即2m-1·2n-1=2m+n-2=1，解得m+n=2，由n>m>0，故n=2-m>m>0，解得0(3)①若≤a≤4，则h(x)=(x-a)2在上的最小值为0，当x=a时，不存在x2使得h(x1)h(x2)=1，舍去；
②若a>4，则h(x)=(x-a)2在上单调递减，从而h·h(4)=1，即(4-a)2=1，解得a=1(舍去)或a=，从而存在x∈使得对任意的t∈R，有不等式≥-t2+(s-t)x+4都成立，即t2+xt+x2-x+≥0对t∈R恒成立，由Δ=x2-4≤0，得4x≤3x2+.由x∈，得4≤3x+，又y=3x+在x∈上单调递减，故当x=时，=，从而4≤，解得s≤.综上，实数s的最大值为.
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