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“2年高考1年模拟”课时精练（五十五） 圆的方程
1.(2025·海南模拟)已知点A(-3，1)，B(1，-3)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=8
B.(x+1)2+(y+1)2=8
C.(x-1)2+(y-1)2=32
D.(x+1)2+(y+1)2=32
2.(2025·贵阳模拟)已知点P(0，-1)关于直线x-y+1=0对称的点Q在圆C：x2+y2+mx+4=0上，则m= (　　)
A.4 B.
C.-4 D.-
3.已知点P(1，-2)在圆C：x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部，则k的取值范围是 (　　)
A.(-2，1) B.(1，2)
C.(-∞，-2) D.(-2，2)
4.(2025·北京西城模拟)已知圆x2+y2=a2+4经过点(a-2，b)，且点P(a，b)到点Q(1，0)的距离为3，则 (　　)
A.a=-4 B.a=2
C.b=2 D.b=4
5.已知圆C经过A(0，0)，B(2，0)，且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为 (　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=4
B.(x-)2+(y-)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x-1)2+(y-2)2=5
6.(2025·长沙模拟)点P在单位圆上运动，则P点到直线l：(1+3λ)x+(1-2λ)y-(7+λ)=0(λ为任意实数)的距离的最大值为 (　　)
A.2+1 B.6
C.3+1 D.5
7.已知P(m，n)是圆C：x2+y2-8x-6y+23=0上的一点，则的最小值是 (　　)
A.3-2 B.3
C.3+2 D.2
8.(2025·桂林模拟)已知直线l1：mx+y+4=0与直线l2：x-my-6-4m=0交于点P(x0，y0)，则+的最大值为 (　　)
A.4 B.8
C.32 D.64
9.已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标为　　　　，半径为　　　　.
10.已知点E(1，0)在圆x2+y2-4x+2y+5k=0的外部，则k的取值范围是　　　　.
11.已知圆C与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，且圆心在直线y=-4x上，则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　.
12.已知直线l：3x+4y+m=0，圆C：x2+y2-4x+2=0，则圆C的半径r=　　　　；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB=90°，则实数m的取值范围是　　　　.
13.已知M(m，n)为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值；
(2)求的最大值和最小值.
14.设O为坐标原点，动点M在椭圆E：+=1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足= .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设A(1，0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|=2|AP|总成立 若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.
15.(2025·马鞍山模拟)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|=2|CD|=8，AB，CD间的距离为4，以线段AB的中点为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过A，B，C，D四点的圆为圆M.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若点E是线段AO的中点，P是圆M上一动点，满足·≥24，求动点P横坐标的取值范围.
（解析）精练（五十五） 圆的方程
1.(2025·海南模拟)已知点A(-3，1)，B(1，-3)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=8
B.(x+1)2+(y+1)2=8
C.(x-1)2+(y-1)2=32
D.(x+1)2+(y+1)2=32
解析：选B　由题意得圆心为，即(-1，-1)，半径r==2，所以圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=8.
2.(2025·贵阳模拟)已知点P(0，-1)关于直线x-y+1=0对称的点Q在圆C：x2+y2+mx+4=0上，则m= (　　)
A.4 B.
C.-4 D.-
解析：选B　设Q(a，b)，则解得a=-2，b=1.因为Q在C上，所以4+1-2m+4=0，解得m=.
3.已知点P(1，-2)在圆C：x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部，则k的取值范围是 (　　)
A.(-2，1) B.(1，2)
C.(-∞，-2) D.(-2，2)
解析：选B　由x2+y2+kx+4y+k2+1=0，得+(y+2)2=3-k2，
则3-k2>0，解得-2又∵点P(1，-2)在圆C的外部，
∴1+4+k-8+k2+1>0，
即k2+k-2>0，解得k<-2或k>1　②，
由①②得14.(2025·北京西城模拟)已知圆x2+y2=a2+4经过点(a-2，b)，且点P(a，b)到点Q(1，0)的距离为3，则 (　　)
A.a=-4 B.a=2
C.b=2 D.b=4
解析：选B　由题意知(a-2)2+b2=a2+4，整理得b2=4a　①，又由点P(a，b)到点Q(1，0)的距离为3，可得(a-1)2+b2=9　②，联立①②，解得或故选B.
5.已知圆C经过A(0，0)，B(2，0)，且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为 (　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=4
B.(x-)2+(y-)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x-1)2+(y-2)2=5
解析：选C　∵圆心在弦的中垂线上，∴可设C(1，m).∵△ABC为直角三角形，|AB|=2，
∴|AC|==.
∵m>0，∴m=1，
∴圆心坐标为(1，1)，圆的半径为，
∴圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
6.(2025·长沙模拟)点P在单位圆上运动，则P点到直线l：(1+3λ)x+(1-2λ)y-(7+λ)=0(λ为任意实数)的距离的最大值为 (　　)
A.2+1 B.6
C.3+1 D.5
解析：选B　将直线方程变形为l：(x+y-7)+(3x-2y-1)λ=0，由解得直线过定点Q(3，4)，P在单位圆上运动，圆心O(0，0)，圆的半径r=1，故圆心到直线l距离的最大值为|OQ|==5，则P点到直线l的距离的最大值为r+|OQ|=1+5=6.
7.已知P(m，n)是圆C：x2+y2-8x-6y+23=0上的一点，则的最小值是 (　　)
A.3-2 B.3
C.3+2 D.2
解析：选D　表示圆上的点P(m，n)到点(1，0)的距离，由x2+y2-8x-6y+23=0可化为(x-4)2+(y-3)2=2，得圆心为(4，3)，半径为，所以点(1，0)到圆心的距离为=3，所以点P(m，n)到点(1，0)的距离的最小值为3-=2，即的最小值是2.
8.(2025·桂林模拟)已知直线l1：mx+y+4=0与直线l2：x-my-6-4m=0交于点P(x0，y0)，则+的最大值为 (　　)
A.4 B.8
C.32 D.64
解析：选D　由题知直线l1：mx+y+4=0恒过定点B(0，-4).直线l2：x-my-6-4m=0化简为x-m(y+4)-6=0，当y=-4时，x=6，直线恒过点A(6，-4).当m=0时，直线l2的斜率k2不存在，直线l1的斜率k1=0，则l1⊥l2；当m≠0时，k1=-m，k2=，k1·k2=-1，则l1⊥l2.综上，直线l1恒过定点B(0，-4)，直线l2恒过定点A(6，-4)，且l1⊥l2.因为直线l1与直线l2交于点P(x0，y0)，所以点P在以AB为直径的圆上，线段AB的中点坐标为C(3，-4)，且|AB|=6，则其轨迹方程为(x-3)2+(y+4)2=9(除点(0，-4)外)，圆的半径r=3，因为+表示圆上的点到原点距离的平方，设d=，则dmax=r+|OC|=8，所以+的最大值为64.
9.已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标为　　　　，半径为　　　　.
解析：由圆的一般方程的形式知，a+2=a2，
解得a=2或a=-1.
当a=2时，该方程可化为x2+y2+x+2y+=0，
∵D2+E2-4F=12+22-4×<0，
∴a=2不符合题意；
当a=-1时，方程可化为x2+y2+4x+8y-5=0，即(x+2)2+(y+4)2=25，
∴圆心坐标为(-2，-4)，半径为5.
答案：(-2，-4)　5
10.已知点E(1，0)在圆x2+y2-4x+2y+5k=0的外部，则k的取值范围是　　　　.
解析：由题意，圆x2+y2-4x+2y+5k=0满足(-4)2+22-20k>0，∴k<1.由点E(1，0)在圆x2+y2-4x+2y+5k=0的外部，得1-4+5k>0，∴k>，即k的取值范围是.
答案：
11.已知圆C与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，且圆心在直线y=-4x上，则圆C的方程为　　　　　　　　　　　　　.
解析：过切点P(3，-2)且与直线l：x+y-1=0垂直的直线方程为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心坐标为(1，-4).所以半径r==2，所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
答案：(x-1)2+(y+4)2=8
12.已知直线l：3x+4y+m=0，圆C：x2+y2-4x+2=0，则圆C的半径r=　　　　；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB=90°，则实数m的取值范围是　　　　.
解析：圆的标准方程为(x-2)2+y2=2，圆心为C(2，0)，半径为r=.
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB=90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角大于等于90°即可，此时圆心C到直线l的距离d=|CP|=.所以=≥，解得-16≤m≤4.
答案：　[-16，4]
13.已知M(m，n)为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.
(1)求m+2n的最大值；
(2)求的最大值和最小值.
解：(1)易知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0的圆心为(2，7)，半径r=2，
设m+2n=t，将m+2n=t看成直线方程，
因为该直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离d=≤2，
解得16-2≤t≤16+2，
所以m+2n的最大值为16+2.
(2)记点Q(-2，3)，则表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y-3=k(x+2)，
即kx-y+2k+3=0.
由直线MQ与圆C有公共点，
得≤2，
可得2-≤k≤2+，
所以的最大值为2+，最小值为2-.
14.设O为坐标原点，动点M在椭圆E：+=1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足= .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设A(1，0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|=2|AP|总成立 若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x1，y1)，N(x1，0)，则+=1　①.由= 知即代入①得x2+y2=4.即点P的轨迹方程为x2+y2=4.
(2)假设存在点B(m，0)满足条件，由|BP|=2|AP|，得 =2，即3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4.此方程与x2+y2=4表示同一方程，故解得m=4.所以存在点B(4，0)满足条件.
15.(2025·马鞍山模拟)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|=2|CD|=8，AB，CD间的距离为4，以线段AB的中点为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过A，B，C，D四点的圆为圆M.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若点E是线段AO的中点，P是圆M上一动点，满足·≥24，求动点P横坐标的取值范围.
解：(1)因为|AB|=2|CD|=8，AB，CD间的距离为4，
所以A(-4，0)，B(4，0)，C(2，4)，D(-2，4)，经过A，B，C，D四点的圆即经过A，B，C三点的圆.
法一　AB中垂线方程即x=0，BC中点为(3，2)，kBC==-2，所以BC的中垂线方程为y-2=(x-3)，
即y=x+，联立得圆心坐标M，|MB|==，
所以圆M的标准方程为x2+=.
法二　设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
代入A(-4，0)，B(4，0)，C(2，4)，解得
所以圆M的标准方程为x2+=.
法三　以AB为直径的圆方程为(x+4)(x-4)+y2=0，直线AB：y=0，
设圆M的方程为(x+4)(x-4)+y2+λy=0，代入C(2，4)，解得λ=-1，
所以圆M的标准方程为x2+=.
(2)E(-2，0)，设圆M上一点P(x，y)，=(-x，-y)，=(-2-x，-y)，
因为·≥24，所以-x(-2-x)+(-y)(-y)≥24，即x2+y2+2x-24≥0，
由x2+y2+2x-24≥0对应方程为圆方程x2+y2+2x-24=0 (x+1)2+y2=25，
所以P点在圆(x+1)2+y2=25上及其外部，
解得x1=2，x2=4，
所以两圆交点恰为B(4，0)，C(2，4)，
结合图形，当圆M上一点纵坐标为时，横坐标为x3=>4，
所以点P横坐标的取值范围是.
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