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“2年高考1年模拟”课时精练（五十四） 两条直线的位置关系
1.(2025·杭州模拟)点(1，2)关于直线x+y-2=0的对称点是 (　　)
A.(1，0) B.(0，1)
C.(0，-1) D.(2，1)
2.点(0，-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 (　　)
A.1 B.
C. D.2
3.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x-2y+1=0和x-2y+3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3x+4y+c1=0和3x+4y+c2=0，则|c1-c2|等于 (　　)
A.2 B.2
C.2 D.4
4.(2025·连云港统考)“λ=-1”是“直线l1：x+λy+9=0与l2：(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的 (　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.(2025·赤峰模拟)已知直线mx+4y-2=0与直线4x-2y+n=0互相垂直，垂足为(1，p)，则m-n+p等于 (　　)
A.6 B.2
C.-2 D.-6
6.[多选]已知直线l1：4x+3y-2=0，l2：(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R)，则 (　　)
A.直线l2过定点(2，3)
B.当m=10时，l1∥l2
C.当m=-1时，l1⊥l2
D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为3
7.已知直线l：sin α+cos α=1，其中m，n都是正实数，α∈[0，2π)，则下列结论正确的是 (　　)
A.当α=时，直线l的一个方向向量为(1，0)
B.当α变化时，所对应的直线均过同一个定点
C.当m≤n时，坐标原点(0，0)到直线l的距离的最小值为m
D.所有直线l组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面
8.当点P(-2，-1)到直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为 (　　)
A.，2x-3y+1=0 　B.，3x+y-4=0
C.，3x+2y-5=0 　D.，2x-3y+1=0
9.(2025·菏泽模拟)若2x+ay-2=0与x-y+a=0平行，则两直线之间的距离为　　　.
10.(2025·绍兴模拟)已知直线l：3x+4y-1=0，则过坐标原点且与l垂直的直线方程是　　　　　，点(2，0)到l的距离是　　　　.
11.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(-4，2)，(3，1)，则点C的坐标为　　　　.
12.(2025·湘潭调研)已知点M(1，0)，N(2，0)，点P在直线2x-y-1=0上移动，则|PM|2+|PN|2的最小值为　 　　，|PM|+|PN|的最小值为　　 　.
13.已知三条直线l1：2x-y+a=0(a>0)，直线l2：4x-2y-1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶ 若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
14.已知直线的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.
(1)当m为何值时，点Q(3，4)到直线的距离最大，最大值为多少
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
15.(2025·德州模拟)如图，OAB是一张三角形纸片，∠AOB=90°，|OA|=1，|OB|=2，设l与OA，AB的交点分别为M，N，将△AMN沿直线l折叠后，使A落在边OB上的点A'处.设|OA'|=m，试用m表示点N到OB的距离.
（解析）精练（五十四） 两条直线的位置关系
1.(2025·杭州模拟)点(1，2)关于直线x+y-2=0的对称点是 (　　)
A.(1，0) B.(0，1)
C.(0，-1) D.(2，1)
解析：选B　设点A(1，2)关于直线x+y-2=0的对称点是B(a，b)，则有解得a=0，b=1，故点(1，2)关于直线x+y-2=0的对称点是(0，1).故选B.
2.点(0，-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 (　　)
A.1 B.
C. D.2
解析：选B　由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1，0)，设A(0，-1)，当直线y=k(x+1)与AP垂直时，点A到直线y=k(x+1)距离最大，即为|AP|=.
3.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x-2y+1=0和x-2y+3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3x+4y+c1=0和3x+4y+c2=0，则|c1-c2|等于 (　　)
A.2 B.2
C.2 D.4
解析：选B　因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x-2y+1=0和x-2y+3=0之间的距离为=，3x+4y+c1=0和3x+4y+c2=0之间的距离为=，于是有= |c1-c2|=2.
4.(2025·连云港统考)“λ=-1”是“直线l1：x+λy+9=0与l2：(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的 (　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A　λ=-1时，直线l2：-3x+3y-3=0即x-y+1=0，与直线l1：x-y+9=0平行，充分性成立；直线l1：x+λy+9=0与l2：(λ-2)x+3y+3λ=0平行，有λ(λ-2)=3，解得λ=-1或λ=3，其中λ=3时，两直线重合，舍去，故λ=-1，必要性成立.故“λ=-1”是“直线l1：x+λy+9=0与l2：(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的充要条件.
5.(2025·赤峰模拟)已知直线mx+4y-2=0与直线4x-2y+n=0互相垂直，垂足为(1，p)，则m-n+p等于 (　　)
A.6 B.2
C.-2 D.-6
解析：选A　因为直线mx+4y-2=0与直线4x-2y+n=0互相垂直，所以m×4+4×(-2)=0，解得m=2，所以原直线mx+4y-2=0为2x+4y-2=0.又因为垂足(1，p)在两直线上，所以代入得解得所以m-n+p=2+4+0=6.
6.[多选]已知直线l1：4x+3y-2=0，l2：(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R)，则 (　　)
A.直线l2过定点(2，3)
B.当m=10时，l1∥l2
C.当m=-1时，l1⊥l2
D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为3
解析：选ABD　l2：(m+2)x+(m-1)y-5m-1=0(m∈R)变形为m(x+y-5)+2x-y-1=0，
由 得因此直线l2过定点(2，3)，故A正确；当m=10时，l1：4x+3y-2=0，l2：12x+9y-51=0，所以=≠，故两直线平行，故B正确；当m=-1时，l1：4x+3y-2=0，l2：x-2y+4=0，因为4×1+3×(-2)≠0，故两直线不垂直，故C错误；当l1∥l2时，则满足=≠，解得m=10，此时l1：4x+3y-2=0，l2：12x+9y-51=0，即4x+3y-17=0，则两直线间的距离为=3，故D正确.
7.已知直线l：sin α+cos α=1，其中m，n都是正实数，α∈[0，2π)，则下列结论正确的是 (　　)
A.当α=时，直线l的一个方向向量为(1，0)
B.当α变化时，所对应的直线均过同一个定点
C.当m≤n时，坐标原点(0，0)到直线l的距离的最小值为m
D.所有直线l组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面
解析：选C　对于A，当α=时，直线l的方程为x=1，即x=m，平行于y轴，直线l的方向向量与向量(0，1)平行，故A不正确；对于B，当α=0时，得=1，即y=n；当α=时，得sin+cos=1，即x+y-1=0，联立方程得则两直线交于点(2m-m，n)，当α=时，得x=m，显然点(2m-m，n)不在直线x=m上，此时三条直线交于一点不成立，故当α变化时，所对应的直线均过同一个定点不成立，故B不正确；对于C，当m≤n时，坐标原点(0，0)到直线l的距离d=，而≤，则+≤，故d=≥m，即d的最小值为m，故C正确；对于D，由于点(0，0)不满足方程，所以所有直线l组成的平面区域不可能覆盖整个直角坐标平面，故D不正确.
8.当点P(-2，-1)到直线l：(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为 (　　)
A.，2x-3y+1=0 　B.，3x+y-4=0
C.，3x+2y-5=0 　D.，2x-3y+1=0
解析：选C　直线l的方程(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0可化为x+y-2+λ(3x+y-4)=0，联立解得所以直线l经过定点C(1，1).当PC⊥l时，点P到直线l的距离最大，最大距离为|PC|==.因为直线PC的斜率kPC==，PC⊥l，所以直线l的斜率kl=-，所以-=-，所以2(1+3λ)=3(1+λ)，所以2+6λ=3+3λ，故λ=，所以直线l的方程为3x+2y-5=0.
9.(2025·菏泽模拟)若2x+ay-2=0与x-y+a=0平行，则两直线之间的距离为　　　.
解析：∵直线l1与l2平行，∴=≠，解得a=-2，∴直线l1：x-y-1=0，直线l2：x-y-2=0，∴直线l1与l2之间的距离d==.
答案：
10.(2025·绍兴模拟)已知直线l：3x+4y-1=0，则过坐标原点且与l垂直的直线方程是　　　　　，点(2，0)到l的距离是　　　　.
解析：直线l：3x+4y-1=0的斜率为k=-，所以可设与l垂直的直线方程为4x-3y+c=0，把(0，0)代入，求得c=0，所以过坐标原点且与l垂直的直线方程是4x-3y=0.点(2，0)到l的距离d==1.
答案：4x-3y=0　1
11.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(-4，2)，(3，1)，则点C的坐标为　　　　.
解析：设A(-4，2)关于直线y=2x的对称点为(x，y)，则解得故BC所在直线方程为y-1=(x-3)，即3x+y-10=0.联立解得则C(2，4).
答案：(2，4)
12.(2025·湘潭调研)已知点M(1，0)，N(2，0)，点P在直线2x-y-1=0上移动，则|PM|2+|PN|2的最小值为　 　　，|PM|+|PN|的最小值为　　 　.
解析：∵点P在直线2x-y-1=0上，∴可设点P的坐标为(a，2a-1)，∴|PM|2+|PN|2=(a-1)2+(2a-1)2+(a-2)2+(2a-1)2=10a2-14a+7=10+，∴|PM|2+|PN|2的最小值为.设点M'(x，y)和点M关于直线2x-y-1=0对称，则|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|，当M'，P，N三点共线时，|PM'|+|PN|最小，此时|PM|+|PN|=|M'N|，
由解得即M'.
∴|M'N|==，
即|PM|+|PN|的最小值为.
答案：　
13.已知三条直线l1：2x-y+a=0(a>0)，直线l2：4x-2y-1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶ 若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
解：(1)因为l2可化为2x-y-=0，
所以l1与l2的距离d==.
因为a>0，所以a=3.
(2)设存在点P(x0，y0)满足条件，则由条件②可知点P在与l1，l2平行的直线l'：2x-y+c=0上.
且=·，即c=或c=.
所以满足条件②的点满足2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有=·，
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
因为点P在第一象限，所以3x0+2=0不成立.
联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0，解得(舍去)，联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0，
解得所以P即为同时满足条件的点.
14.已知直线的方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.
(1)当m为何值时，点Q(3，4)到直线的距离最大，最大值为多少
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
解：(1)直线方程可化为(2x+y+4)+m(-x+2y+3)=0，对任意m都成立，故解得则直线过定点P(-1，-2).由点Q(3，4)到直线的距离最大，可知点Q与定点P(-1，-2)的连线的距离就是所求最大值，即=2为最大值.
因为kPQ==，所以(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0的斜率为-，可得-=-，解得m=.故当m=时，点Q(3，4)到直线的距离最大，最大值为2.
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，设直线方程为y+2=k(x+1)，k<0，则A，B(0，k-2)，所以S△AOB=|k-2|=(k-2)=2+≥2+2=4，当且仅当k=-2时取等号，所以△AOB的面积的最小值为4.此时直线的方程为2x+y+4=0.
15.(2025·德州模拟)如图，OAB是一张三角形纸片，∠AOB=90°，|OA|=1，|OB|=2，设l与OA，AB的交点分别为M，N，将△AMN沿直线l折叠后，使A落在边OB上的点A'处.设|OA'|=m，试用m表示点N到OB的距离.
解：以O为原点，边OA，OB所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设A'(0，m)(0≤m≤1)，
因为A(1，0)，所以kAA'==-m.
连接AA'，因为点A与点A'对称，所以AA'⊥MN.
当m=0时，直线MN的斜率不存在，此时直线MN的方程为x=，点N到OB的距离为.
当m≠0时，kMN=.
因为AA'的中点为，
从而直线l的方程为y-=，
即y=x+-.①
又直线AB的方程为y=-2x+2，②
由①②解得x=，
即点N的横坐标为，
所以点N到OB的距离为.
当m=0时也满足上式.
所以点N到OB的距离为.
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