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“2年高考1年模拟”课时精练（五十三） 直线的方程
1.直线x=2 025的倾斜角为 (　　)
A.0 B.
C. D.不存在
2.已知直线3x-my+1=0的倾斜角为60°，则实数m的值为 (　　)
A.- B.
C. D.-
3.(2025·北京模拟)直线-=1与-=1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　　)
4.(2025·长沙模拟)已知两点M(a，6)，N(a+2，3)，以下各点一定在直线MN上的是 (　　)
A.(a+4，0) B.(a+4，2)
C.(a+4，4) D.(a+4，6)
5.已知点M是直线l：2x-y-4=0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是 (　　)
A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0
6.已知直线l：x-my+m-1=0，则下列说法不正确的是 (　　)
A.直线l恒过点(1，1)
B.若直线l与y轴的夹角为30°，则m=或m=-
C.直线l的斜率可以等于0
D.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则m=1或m=-1
7.[多选]已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x+3y-9=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则 (　　)
A.直线l的方程为x-3y+3=0
B.直线l与直线l1的倾斜角互补
C.直线l在y轴上的截距为1
D.这样的直线l有两条
8.若直线l的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l斜率的取值范围为 (　　)
A.[1，+∞) B.(-∞，-1]
C.[-1，1] D.(-∞，-1]∪[1，+∞)
9.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是 (　　)
A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0
C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0
10.已知直线kx-y+2k-1=0恒过定点A，点A也在直线mx+ny+2=0上，其中m，n均为正数，则+的最小值为 (　　)
A.2 B.4
C.8 D.6
11.若点(k，0)与(b，0)的中点为(-3，0)，则直线y=kx+b必经过定点　　　　.
12.(2025·阜阳模拟)在△ABC中，A(3，-1)，∠B，∠C的平分线方程为x=0，y=x，则直线BC的方程是　　　　　　.
13.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　.
14.(2025·菏泽模拟)直线xcos θ+ysin θ=0，θ∈的斜率的取值范围为　　　　　.
（解析）精练（五十三） 直线的方程
1.直线x=2 025的倾斜角为 (　　)
A.0 B.
C. D.不存在
解析：选C　直线x=2 025与x轴垂直，则直线x=2 025的倾斜角为.
2.已知直线3x-my+1=0的倾斜角为60°，则实数m的值为 (　　)
A.- B.
C. D.-
解析：选B　由题意可知m≠0，故直线斜率k==tan 60°=，则m=.
3.(2025·北京模拟)直线-=1与-=1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　　)
解析：选B　易知直线-=1的斜率为，直线-=1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足题意.
4.(2025·长沙模拟)已知两点M(a，6)，N(a+2，3)，以下各点一定在直线MN上的是 (　　)
A.(a+4，0) B.(a+4，2)
C.(a+4，4) D.(a+4，6)
解析：选A　因为M(a，6)，N(a+2，3)，所以kMN==-，所以直线MN的方程为y-6=-(x-a)，即y=-x+a+6，当x=a+4时，y=-(a+4)+a+6=-a-6+a+6=0，所以点(a+4，0)在直线MN上.
5.已知点M是直线l：2x-y-4=0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是 (　　)
A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0
解析：选D　设直线l的倾斜角为α，则tan α=k=2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k'=tan(α+45°)==-3，又点M(2，0)，所以直线方程为y=-3(x-2)，即3x+y-6=0.
6.已知直线l：x-my+m-1=0，则下列说法不正确的是 (　　)
A.直线l恒过点(1，1)
B.若直线l与y轴的夹角为30°，则m=或m=-
C.直线l的斜率可以等于0
D.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则m=1或m=-1
解析：选C　直线l的方程可化为(x-1)-m(y-1)=0，所以直线l过定点(1，1)，故A正确；因为直线l与y轴的夹角为30°，所以直线l的倾斜角为60°或120°，而直线l的斜率为，所以=tan 60°=或=tan 120°=-，所以m=或m=-，故B正确；当m=0时，直线l：x=1，斜率不存在，当m≠0时，直线l的斜率为，不可能等于0，故C错误；当m=0时，直线l：x=1在y轴上的截距不存在，当m≠0时，令x=0，得y=，令y=0，得x=1-m，令=1-m，得m=±1，故D正确.
7.[多选]已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x+3y-9=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则 (　　)
A.直线l的方程为x-3y+3=0
B.直线l与直线l1的倾斜角互补
C.直线l在y轴上的截距为1
D.这样的直线l有两条
解析：选ABC　因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为-，知直线l的斜率为，可得直线l的方程为y-2=(x-3)，即l的方程为x-3y+3=0，故A正确；令x=0，得y=1，所以l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3，2)且斜率为的直线只有一条，故D错误.故选ABC.
8.若直线l的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l斜率的取值范围为 (　　)
A.[1，+∞) B.(-∞，-1]
C.[-1，1] D.(-∞，-1]∪[1，+∞)
解析：选D　直线倾斜角为45°时，斜率为1，直线倾斜角为135°时，斜率为-1，当倾斜角为90°时，斜率不存在.因为k=tan α在上单调递增，在上单调递增，所以当45°≤α≤135°时，k的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞).
9.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是 (　　)
A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0
C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0
解析：选A　易知A(-1，0).∵|PA|=|PB|，∴点P在AB的垂直平分线，即x=2上，∴B(5，0).∵PA，PB关于直线x=2对称，∴kPB=-1.∴lPB：y-0=-(x-5)，即x+y-5=0.
10.已知直线kx-y+2k-1=0恒过定点A，点A也在直线mx+ny+2=0上，其中m，n均为正数，则+的最小值为 (　　)
A.2 B.4
C.8 D.6
解析：选B　由直线kx-y+2k-1=0整理得y+1=k(x+2)，直线恒过定点A，即A(-2，-1).因为点A也在直线mx+ny+2=0上，所以2m+n=2，整理得m+=1.由于m，n均为正数，则+==1+++1≥2+2=4，当且仅当n=2m，即m=，n=1时等号成立.故+的最小值为4.
11.若点(k，0)与(b，0)的中点为(-3，0)，则直线y=kx+b必经过定点　　　　.
解析：由题意得=-3，则b=-k-6，所以直线方程为y=kx+b=kx-6-k=k(x-1)-6，所以直线必经过定点(1，-6).
答案：(1，-6)
12.(2025·阜阳模拟)在△ABC中，A(3，-1)，∠B，∠C的平分线方程为x=0，y=x，则直线BC的方程是　　　　　　.
解析：∵∠B，∠C的平分线方程为x=0，y=x，∴BA与BC关于x=0对称，AC与BC关于y=x对称.因为点A(3，-1)关于x=0的对称点A'(-3，-1)在直线BC上，点A(3，-1)关于y=x的对称点A″(-1，3)也在直线BC上.由两点式得=，即所求直线BC的方程为2x-y+5=0.
答案：2x-y+5=0
13.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　.
解析：设正方形一边所在直线的倾斜角为α，其斜率k=tan α，则其中一条对角线所在直线的倾斜角为α+，其斜率为tan.依题意知tan=2，即=2，∴tan α=，∴正方形一边所在直线的斜率k=，则相邻一边所在直线的斜率为-3.
答案：，-3
14.(2025·菏泽模拟)直线xcos θ+ysin θ=0，θ∈的斜率的取值范围为　　　　　.
解析：当cos θ=0时，直线xcos θ+ysin θ=0的斜率为k=0.因为0<θ<，所以当cos θ≠0时，tan θ<-或tan θ>0.由xcos θ+ysin θ=0，得y=- x=- x，当cos θ≠0即-≠0时，直线xcos θ+ysin θ=0的斜率为k=-，得-<0或0<-<.所以直线xcos θ+ysin θ=0的斜率的取值范围为(-∞，0)∪(0，).综上所述，直线xcos θ+ysin θ=0的斜率的取值范围为(-∞，).
答案：(-∞，)
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