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“2年高考1年模拟”课时精练（五十六） 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.圆(x+1)2+(y-2)2=4与直线3x+4y+5=0的位置关系为 (　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.不确定
2.已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点.若|AB|=6，则r的值为 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
3.(2025·菏泽模拟)设圆C：(x-3)2+y2=r2(r>0)上恰好有三个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则圆的半径r的值为 (　　)
A.2 B.4
C. D.3
4.(2025·宿州模拟)已知A(2，0)，P为圆O：x2+y2=1上的动点，且动点Q满足：=+，记点Q的轨迹为E，则 (　　)
A.E为一条直线
B.E为椭圆
C.E为与圆O相交的圆
D.E为与圆O相切的圆
5.(2025·楚雄模拟)设点P(x0，0)，若在圆C：x2+(y-2)2=3上存在M，N两点，使得四边形CMPN为正方形，则x0= (　　)
A.±1 B.±2
C.± D.±
6.[多选]已知圆O：x2+y2=1，圆C：(x-a)2+(y-1)2=4，a∈R，则下列说法正确的是 (　　)
A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B.若圆O与圆C相切，则a=±2
C.若圆O与圆C恰有两条公切线，则-2D.若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2
7.(2025·泰安模拟)[多选]已知直线l：kx-y-2k+3=0，圆C：x2-2x+y2-8y+13=0，则下列说法正确的是 (　　)
A.圆心C的坐标为(1，4)
B.直线l与圆C始终有两个交点
C.当k=2时，直线l与圆C相交于M，N两点，则△CMN的面积为
D.点C到直线l的距离最大时，k=1
8.[多选]若两定点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA|=|MB|，则下列说法正确的是 (　　)
A.点M的轨迹所围成区域的面积为32π
B.△ABM面积的最大值为8
C.点M到直线x-y+4=0距离的最大值为5
D.若圆C：(x+1)2+(y-1)2=r2(r>0)上存在满足条件的点M，则r的取值范围为
9.(2025·台州一模)已知圆C：x2+y2+Dx+Ey=0，其中D<0，若圆C上仅有一个点到直线x+y-2=0的距离为1，则的值为　　　 ；圆C的半径取值可能为　　　 (请写出一个可能的半径取值).
10.(2025·珠海一模)已知点A(-1，0)，B(0，3)，点P是圆(x-3)2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为　　　　　.
11.已知圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，过点P(3，2)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则∠ACB的正切值为　　　　　　　　.
12.(2025·榆林模拟)已知圆C：(x+5)2+(y-12)2=4和两点A(0，b)，B(0，-b)(b>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则b的取值范围为　　　　　　　　　.
13.(2025·常州模拟)已知圆O：x2+y2=r2(r>0)，直线l：kx-y-4k=0，当k=时，直线l与圆O恰好相切.
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得·=0，求实数k的取值范围.
14.(2025·南京模拟)如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于M，N两点(点M在点N的左侧)，且|MN|=3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN+kBN为定值.
15.已知圆M：x2+(y-4)2=4，P是直线l：x-2y=0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标.
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点 若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
（解析）精练（五十六） 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.圆(x+1)2+(y-2)2=4与直线3x+4y+5=0的位置关系为 (　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.不确定
解析：选B　由题意知，圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心为(-1，2)，半径r=2，则圆心到直线3x+4y+5=0的距离d==2=r，所以直线3x+4y+5=0与圆(x+1)2+(y-2)2=4的位置关系是相切.
2.已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点.若|AB|=6，则r的值为 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
解析：选C　如图，连接OA，OB，由圆心为原点，则圆心到直线的距离d==4，又|AB|=6，所以|AB|=2=6 r2=25 r=5.
3.(2025·菏泽模拟)设圆C：(x-3)2+y2=r2(r>0)上恰好有三个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则圆的半径r的值为 (　　)
A.2 B.4
C. D.3
解析：选D　圆心(3，0)到直线4x-3y-2=0的距离d==2，若圆上有3个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则r=2+1=3.故选D.
4.(2025·宿州模拟)已知A(2，0)，P为圆O：x2+y2=1上的动点，且动点Q满足：=+，记点Q的轨迹为E，则 (　　)
A.E为一条直线
B.E为椭圆
C.E为与圆O相交的圆
D.E为与圆O相切的圆
解析：选D　设点Q的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，由=+，得=-，则(x，y)=(x0，y0)-(2，0)=(x0-2，y0)，所以即把P(x+2，y)代入圆O：x2+y2=1，则点Q的轨迹E的方程为(x+2)2+y2=1，即E是圆心为(-2，0)，半径为1的圆，则|OE|=2，由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即E为与圆O相切的圆.
5.(2025·楚雄模拟)设点P(x0，0)，若在圆C：x2+(y-2)2=3上存在M，N两点，使得四边形CMPN为正方形，则x0= (　　)
A.±1 B.±2
C.± D.±
解析：选C　要使得四边形CMPN为正方形，结合圆的对称性可得，满足PM，PN与圆C相切，且∠MPN=，|CM|=|CN|=，所以|CP|=，所以+4=6，解得x0=±.
6.[多选]已知圆O：x2+y2=1，圆C：(x-a)2+(y-1)2=4，a∈R，则下列说法正确的是 (　　)
A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B.若圆O与圆C相切，则a=±2
C.若圆O与圆C恰有两条公切线，则-2D.若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2
解析：选AD　根据题意，可得圆O：x2+y2=1的圆心为O(0，0)，半径r=1，圆C：(x-a)2+(y-1)2=4的圆心为C(a，1)，半径R=2.对于A，因为两圆的圆心距d=|OC|=≥1，所以A正确；对于B，当两圆内切时，圆心距d=|OC|=R-r=1，即=1，解得a=0.当两圆外切时，圆心距d=|OC|=R+r=3，即=3，解得a=±2.综上所述，若两圆相切，则a=0或a=±2，故B不正确；对于C，若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d=|OC|∈(R-r，R+r)，即∈(1，3)，可得1<<3，解得-27.(2025·泰安模拟)[多选]已知直线l：kx-y-2k+3=0，圆C：x2-2x+y2-8y+13=0，则下列说法正确的是 (　　)
A.圆心C的坐标为(1，4)
B.直线l与圆C始终有两个交点
C.当k=2时，直线l与圆C相交于M，N两点，则△CMN的面积为
D.点C到直线l的距离最大时，k=1
解析：选ABD　x2-2x+y2-8y+13=0可化为(x-1)2+(y-4)2=4，所以圆心C(1，4)，半径R=2，所以A正确；由kx-y-2k+3=0，得k(x-2)+(3-y)=0，则直线kx-y-2k+3=0过定点(2，3)，因为(2-1)2+(3-4)2=2<4，所以点(2，3)在圆C内，所以直线kx-y-2k+3=0与圆C始终有两个交点，所以B正确；设圆心C到直线2x-y-1=0的距离为d，则d===，弦长|MN|=2=2=，所以面积S=|MN|d=××=，所以C不正确；由题意得直线过定点P(2，3)，故当直线l与CP垂直时，圆心到直线l的距离最大，由于kCP==-1，故k=1，所以D正确.
8.[多选]若两定点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA|=|MB|，则下列说法正确的是 (　　)
A.点M的轨迹所围成区域的面积为32π
B.△ABM面积的最大值为8
C.点M到直线x-y+4=0距离的最大值为5
D.若圆C：(x+1)2+(y-1)2=r2(r>0)上存在满足条件的点M，则r的取值范围为
解析：选ABD　如图，设M(x，y)，由|MA|=|MB|得，|MA|2=2|MB|2，∴(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2]，整理可得(x-6)2+y2=32，∴点M的轨迹是以点S(6，0)为圆心，4为半径的圆.对于A，点M轨迹围成的区域面积为π×=32π，A正确；对于B，∵|AB|=4，∴若△ABM取得最大值，则点M到直线AB的距离最大，即到x轴的距离最大，∵点M到直线AB的距离的最大值为4，∴△ABM面积的最大值为×4×4=8，B正确；对于C，∵圆心S(6，0)到直线x-y+4=0的距离d==5，∴点M到直线x-y+4=0距离的最大值为d+4=5+4=9，C错误；对于D，由题意知点M的轨迹与圆C有公共点，即两圆有公共点，∵圆C的圆心为(-1，1)，半径为r，∴两圆的圆心距为=5，∴|r-4|≤5≤r+4，解得≤r≤9，即r的取值范围为，D正确.
9.(2025·台州一模)已知圆C：x2+y2+Dx+Ey=0，其中D<0，若圆C上仅有一个点到直线x+y-2=0的距离为1，则的值为　　　 ；圆C的半径取值可能为　　　 (请写出一个可能的半径取值).
解析：根据题意，与直线x+y-2=0的距离为1的点都在直线x+y=0和x+y-4=0上，又圆C：x2+y2+Dx+Ey=0过原点且原点到直线x+y-2=0的距离为1，则C在直线y=x上，且圆C与直线x+y=0相切，所以=，又因为圆C与直线x+y-4=0无交点，所以r∈(0，1)，如图.
答案：　(满足010.(2025·珠海一模)已知点A(-1，0)，B(0，3)，点P是圆(x-3)2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为　　　　　.
解析：由题意得A(-1，0)，B(0，3)，则|AB|==，直线AB的方程为y=3x+3，圆(x-3)2+y2=1的圆心C(3，0)，半径r=1，点C到直线AB：3x-y+3=0的距离d==，因此点P到直线AB距离的最小值为d-r=-1，所以△PAB面积的最小值是××=6-.
答案：6-
11.已知圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，过点P(3，2)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则∠ACB的正切值为　　　　　　　　.
解析：法一　由题可得，圆C：(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1，1)，半径r=1.易知切线PA，PB的斜率都存在，设切线的方程为y-2=k(x-3)，即kx-y-3k+2=0，∴圆心C到切线的距离d===1，解得k=0或k=，如图，设点B在点A下方，则tan∠APB=，∴tan∠ACB=tan(π-∠APB)=-.
法二　由题可得，圆C：(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1，1)，半径r=1.易知直线y=2是圆C的一条切线，不妨设切点为A，则tan∠ACP=2.又tan∠BCP=tan∠ACP，∴tan∠ACB===-.
答案：-
12.(2025·榆林模拟)已知圆C：(x+5)2+(y-12)2=4和两点A(0，b)，B(0，-b)(b>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则b的取值范围为　　　　　　　　　.
解析：因为圆C上存在点P，使得∠APB=90°，所以以AB为直径的圆与圆C有交点，又以AB为直径的圆的圆心为O(0，0)，半径为b，圆C的圆心为C(-5，12)，半径为2，所以|OC|-2≤b≤|OC|+2，即13-2≤b≤13+2，即11≤b≤15.
答案：[11，15]
13.(2025·常州模拟)已知圆O：x2+y2=r2(r>0)，直线l：kx-y-4k=0，当k=时，直线l与圆O恰好相切.
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得·=0，求实数k的取值范围.
解：(1)当k=时，圆心O到直线l的距离为=2，则r=2，
所以圆O的方程为x2+y2=4.
(2)圆心O到直线l的距离d=.
①当直线l与圆O有公共点，即d=≤r=2，解得-≤k≤，若点P与点M(或N)重合，则满足·=0，符合题意.
②当直线l与圆O无公共点，即d=>r=2，解得k<-或k>，
由·=0，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，
则圆Q的方程为+=1，
又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径r2=1，圆O的半径r1=2，
则1=r1-r2≤|OQ|=≤r1+r2=3，只需点O到直线l的距离d=≤3，
所以-≤k<-或综上，实数k的取值范围为.
14.(2025·南京模拟)如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于M，N两点(点M在点N的左侧)，且|MN|=3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN+kBN为定值.
解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m>0)，则圆C的半径为m，
又|MN|=3，所以m2=4+=，解得m=.所以圆C的方程为+(y-2)2=.
(2)证明：由(1)知，M(1，0)，N(4，0)，
当直线AB的斜率为0时，易知kAN= kBN=0，
即kAN+kBN=0；
当直线AB的斜率不为0或该直线的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=ty+1，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得(t2+1)y2+2ty-3=0，Δ=4t2+12(t2+1)>0，
由根与系数的关系可得y1+y2=-，y1y2=-，
所以kAN+kBN=+=+===0.
综上，可得kAN+kBN=0.
15.已知圆M：x2+(y-4)2=4，P是直线l：x-2y=0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标.
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点 若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
解：(1)由题可知圆M的圆心为M(0，4)，半径r=2.设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°.在Rt△MAP中，|MP|2=|AM|2+|AP|2，故|MP|==4.
又|MP|==，
所以=4，解得b=0或b=.
所以点P的坐标为(0，0)或.
(2)因为∠MAP=90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，且MP的中点坐标为，
所以圆N的方程为(x-b)2+=，即(2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0.
由解得或
所以圆N过定点(0，4)和.
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