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1.3等比数列 同步课时作业
一、选择题
1．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30,且,则( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2．已知是等比数列,若,,则公比q为( )
A.2 B. C.4 D.
3．设数列的前n项和,若,则( )
A.3059 B.2056 C.1033 D.520
4．已知正项数列满足，则( )
A. B. C. D.
5．在等比数列中,,,则的公比为( )
A. B. C. D.2
6．设等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，，则( )
A. B. C.15 D.40
7．记为等比数列的前n项和，若，，则( )
A.120 B.85 C. D.
8．已知等比数列的公比,前n项和为,则对于,下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．2,m,8为等比数列的前三项,则m的可能值为( )
A.4 B.5 C. D.
10．已知数列是等比数列，则( )
A.数列是等比数列 B.数列是等比数列
C.数列是等比数列 D.数列是等比数列
11．已知函数,,,若,则下列说法正确的有( )
A.若,则,,成等比数列 B.若,则,,成等比数列
C.若,则 D.若,则
三、填空题
12．在正项等比数列中，，则________.
13．在各项均为正数的等比数列中,,,则________________.
14．已知1,x,y,z,81成等比数列,则________,________.
15．已知数列的通项公式为,若是与的等比中项,则_____________.
四、解答题
16．已知数列满足,,且,.
（1）设,求证:数列是等比数列;
（2）若数列满足（）,求实数m的取值范围.
17．某学校有A,B两家餐厅,王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐,如果前一天选择了餐厅则后一天继续选择餐厅的概率为,前一天选择餐厅则后一天选择餐厅的概率为p,如此往复.已知他第1天选择餐厅的概率为,第2天选择餐厅的概率为.
(1)求王同学第天恰好有两天在餐厅用餐的概率;
(2)求王同学第天选择餐厅用餐的概率.
18．已知数列中,,且,为数列的前n项和,,数列是等比数列,,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
19．已知，且.对于，证明：.
20．（例题）若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.
参考答案
1．答案：D
解析：设等比数列的公比为q,则,又,,
解得,故.
故选：D.
2．答案：D
解析：由题意,则.
故选：D.
3．答案：C
解析：由题设,则,
所以,则
又,则,
所以是首项、公比均为2的等比数列,则,
所以,则.
故选:C
4．答案：B
解析：依题意，，
则数列是以为公比的等比数列，因此，
所以.
故选：B
5．答案：B
解析：因为数列为等比数列,
所以且,,,
所以.
故选：B.
6．答案：C
解析：设数列的公比为，由题意可知.
，
，解得或，
，，故选C.
7．答案：C
解析：设的公比为q.
由为等比数列的前n项和及得，即，
解得或（舍），则.
因为，所以.故选C.
8．答案：D
解析：令,,,,,A错;
,B错;
,C错;
一般情况,时,,,,
,此时;
时,,
左边,
右边左边,D对;
故选:D.
9．答案：AC
解析：由2,m,8为等比数列的前三项,得,所以或.
故选:AC
10．答案：AB
解析：根据题意，数列是等比数列，
设其公比为q，则
对于选项A：因为，
所以数列是等比数列，故A正确；
对于选项B：因为，
所以数列为等比数列，故B正确；
对于选项CD：例如，
则，所以数列不是等比数列，故C错误；
则，所以数列不是等比数列，故D错误.
故选：AB.
11．答案：ACD
解析：设当时,,,成等比数列,则,即,
由得,所以,
所以,解得,
经检验,当时,满足,
当时,,此时,不满足题意,故A正确,B错误;
因为在恒成立,在恒成立,
所以,在恒成立,
又,所以当时,,即,
当时,,即,
所以,,的大致函数图象如图所示,
由图象可知当时,由可得,
当时,由可得,CD正确;
故选：ACD.
12．答案：2
解析：正项等比数列中，，则.
故答案为：2
13．答案：3
解析：等比数列中,,由,
得,由,得,
所以.
故答案为：3.
14．答案：;9
解析：依题意,,解得.
故答案为:;9
15．答案：3
解析：由得,,,,
是与的等比中项,
,即,解得或（舍）.
故答案为：3.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为,所以.
即,又因为,所以,则,
所以,数列是等比数列
（2）由（1）数列是首项为2公比为的等比数列,则.
所以,
则.
经检验时也符合,则.
又因为,所以.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)设“王同学第i天选择餐厅”.
,;;
;;.
由全概率公式,
得,
解得.
设“王同学第天恰好有两天在餐厅用餐”,
则,
因此.
(2)设“王同学第一天选择餐厅”,
则,,
由题与(1)可得,.
由全概率公式,得.
则,又因为,
所以是以首项为,公比为的等比数列.
因此,即.
18．答案：(1),;
(2)数列的前n项和为.
解析：(1)由已知当,时,,,
所以,
又,
所以,
所以,
所以数列为等差数列,公差为1,
又,所以,
所以当,时,,
又,
所以,,
设等比数列的公比为q,
因为,,
所以,,
所以,所以,
(2)由(1),
所以,
所以数列的前n项和,
所以.
19．答案：证明见解析
解析：证明：记，
因为，且，所以两边同乘以，得：
，
所以，
所以.
所以，即证.
20．答案：24或
解析：解法1：由，，得
②的两边分别除以①的两边，得.
解得或.
把代入①，得.
此时.
把代入①，得.
此时.
因此，的第5项是24或.
解法2：因为是与的等比中项，所以.
所以.
因此，的第5项是24或.
解题思路：等比数列由，q唯一确定，可利用条件列出关于，q的方程（组），进行求解.

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