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1.5 数学归纳法 同步课时作业
一、选择题
1．用数学归纳法证明：首项是，公差是d的等差数列的前n项和公式是时，假设当时，公式成立，则( )
A. B.
C. D.
2．已知，则对，( )
A. B.
C. D.
3．若，则对于，( )
A. B.
C. D.
4．已知数列1，，，，…，则数列的第k项是( )
A. B.
C. D.
5．用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是( )
A. B. C. D.
6．用数学归纳法证明“”，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为( )
A.
B.
C.
D.
7．用数学归纳法证明“”时,第一步应证明下述哪个不等式成立( )
A. B.
C. D.
8．用数学归纳法证明“”,当“从到”左端需增乘的代数式为( )
A.
B.
C.
D.
9．已知命题及其证明:
(1)当时,左边,右边所以等式成立;
(2)假设时等式成立,即成立,则当时, ,所以时等式也成立.
由(1)(2)知,对任意的正整数n等式都成立。经判断以上评述( )
A.命题、推理都正确 B.命题不正确、推理正确
C.命题正确、推理不正确 D.命题、推理都不正确
10．用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,不等式左边需增加的项数为( )
A.
B.
C.
D.
11．用数学归纳法证明不等式的过程中,当递推到时,不等式左边( )
A.增加了一项
B.增加了两项
C.增加了两项,但减少了一项
D.以上各种情况均不正
二、填空题
12．已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为________.
13．用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是_______.
14．利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是___________________.
15．用数学归纳法证明等式：，则从到
时左边应添加的项为_______．
三、解答题
16．（例题）设x为实数，且，，n为大于1的正整数，记数列x，，，…，，…的前n项和为，试比较与nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
17．若数列，，，…，，…的前n项和为，计算，，，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明.
18．已知数列满足，前n项和.
（1）求，，的值；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明.
19．已知数列的前n项和为，且，.
（1）试写出数列的任意前后两项（即，）构成的等式；
（2）用数学归纳法证明.
20．记为数列的前n项和，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：假设当时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即.
故选：C
2．答案：A
解析：
.
故选：A.
3．答案：D
解析：
，
，
所以，
故选：D.
4．答案：D
解析：由已知数列的前4项：1，，，，归纳可知该数列的第k项是一个以1为首项，以a为公比的等比数列第k项开始的连续k项的和，所以数列的第k项为.
5．答案：D
解析：当时，假设成立的等式为，当时，要证明的等式为 左边需要添加的项为 .故选D.
6．答案：D
解析：由所证明的等式可知，当时，右边.故选D.
7．答案：D
解析：,应从开始证明不等式成立,故第一步应证明,故选D.
8．答案：B
解析：
9．答案：C
解析：
10．答案：C
解析：
11．答案：C
解析：
12．答案：
解析：抛物线的准线为过点作于则且点在准线上,如图所示
当直线与抛物线相切时有最小值,由得设切点为则解得此时所以
13．答案：
解析：用数学归纳法证明 时，第一步应验证自然数n的第一个取值，即时的不等式：
14．答案：左边
解析：
15．答案：
解析：
16．答案：当且，且时，；证明见解析
解析：解法1：由已知可得.
当时，，由，知，可得，
当时，，由且，知，可得.
由此，我们猜想，当且，且时，.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，由上述过程知，猜想成立.
（2）假设当（，且）时，不等式成立，即，
则.
①当时，因为，所以，所以.
②当时，，且.
又因为，所以，可得.
综合①②可得，当且时，
，
所以，当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数n都成立.
解法2：因为，，所以所给数列是等比数列，公比为，
于是
.
当时，，由，知，可得；
当时，，由，，得0，可得.
由此，我们猜想，当且，且时，.
下面用数学归纳法证明.
（1）当时，由上述过程知，猜想成立.
（2）假设当（，且）时，不等式成立，即，
亦即.
由，得.又因为，，所以.
于是
.
所以，当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数n都成立.
解题思路：该问题中涉及两个字母，x是大于且不等于零的实数，n是大于1的正整数.一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较与nx的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出，再通过n取特殊值比较与nx的大小关系后作出猜想.两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想.
17．答案：猜想，证明见解析
解析：，，；
由，，，猜想，下面用数学归纳法加以证明：
检验初始值时等式成立，假设时命题成立，证明当时，命题也成立.
①时，，成立；
②假设时，有成立，则当时，
，
所以，
时，猜想也成立，
故由①，②可知，猜想对都成立.
18．答案：（1），，
（2）猜想，证明见解析
解析：（1）因为，前n项和，
所以令，得，所以.
令，得，所以.
令，得，所以.
（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明.
证明：①当时，结论成立；
②假设当（，）时，结论成立，即，
则当时，，
.
因为，即，
所以，所以，所以当时结论成立.
由①②可知，对一切，都有成立.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）对任意的，由可得，
上述两式相减得，化简得.
（2）证明：①当时，由可得，解得，满足；
当时，由于，则，满足.
②假设当（，）时，成立，则有.
因为，且，所以，
所以，
所以当时，等式也成立.
由①②可知，对任何都成立.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）当时，，当时，，当时，上式也成立，
所以.
（2）当时，，，
所以成立.
假设当时，不等式成立，
即，
则当时，，又，
所以，
所以，
即当时，不等式也成立.
综上，.

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