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2024-2025学年八年级数学下册期末测试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程0时，可配方得( )
A． B． C． D．
4．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，首先应假设这个直角三角形中( )
A．两个锐角都大于 B．两个锐角都小于
C．两个锐角都不大于 D．两个锐角都等于
5．将三个全等的小正方形按如图所示摆放在长方形内部，其中分别在长方形的边上，若，，则图中小正方形的边长为( )
A． B． C． D．
6．有21名同学参加学校组织的几何画板比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设10个获奖名额．某同学知道自己的比赛成绩后，要判断自己能否获奖，在下列关于这21名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是( )
A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数
7．已知是方程的一个根，则( )
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则( )
A．10 B．12 C．15 D．16
9．数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形(如图1)，即它恰好能被分割成I0个大小不同的正方形，从这以后人们开始热衷图形完美分割的研究．被分割成13个小正三角形(如图2)，已知中间最小的两个正三角形和边长均为1，则的周长为( )
A．36 B．39 C．42 D．45
10．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为(　　)
A． B． C．2 D．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.若数据，，的平均数是3，则数据，，的平均数是 ．
12．数a在数轴上的位置如图所示，则 ．
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．则k的值是 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线与交于点的平分线与交于点F，点E是的中点，连接，若，则长为 ．
15．如图，边长为4的正方形中，点E，F分别是对角线，边上一动点，连结，，．取，的中点分别记为H，G，连结HG，则HG长度的最小值是 ．
16．如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ，的值为 ．
三、解答题(本大题共8小题,共66分)
17．计算：
(1) (2)
18．解方程：
(1)； (2)．
19．为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师以八年级(1)班50位学生为样本进行了一分钟跳绳次数测试．根据测试结果，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图
(如下所示)：
组别 次数x 频数(人数)
第1组 6
第2组 8
第3组 a
第4组 18
第5组 6
请结合图表完成下列问题：
(1)表中的______；这个样本数据的中位数落在第______组；
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)已知该校八年级共有学生600，请你估计一分钟跳绳次数不低于120次的八年级学生大约多少名？
20．某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v(千米/小时) 75 80 85 90 95
t(小时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
(1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系；
(2)求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式并写出自变量t的取值范围
(3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线，交于点，，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，，当时，求的面积．
22．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
23．如图1，已知矩形，点E是边上一点，点F是延长线上一点，且．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)如图2，在(1)的条件下，若，点G是边上一点，连接交于点H，有，求．
24．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，经过C、D两点．

(1)求k的值；
(2)如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数(k为常数，k≠0)图像于点M，交反比例函数的图像于点N，当时，求G点坐标；
(3)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、，即的被开方数中的因数不是整数，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，的被开方数中的因数不是整数，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，即的被开方数中含有能开方的因数，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
【详解】解：A．原图是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.原图不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．D
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移项，然后左右两边加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：∵，
，
，
，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，根据，列出二元一次方程组，求出和，再求出边长即可．
【详解】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，
设每个直角三角形的较大的直角边为，较小的直角边为，
，，
，
解得，
小正方形的边长为：．
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．由于比赛设置了10个获奖名额，共有21名选手参加，故应根据中位数的意义分析．
【详解】解：10位获奖者的分数肯定是21名参赛选手中最高的，而21个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有11个数，
∴只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为，
∴，
∴
；
故选B．
8．C
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答本题的关键．图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，由，可求出，，根据，解得，即得，进而即可求得．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
9．B
【分析】本题考查平行四边形的性质以及规律型—图形的变化．设的边长是，按照图形规律表示出和，再列出等式即可求出，再表示出，即可求出 的周长．
【详解】解：如图所示：

设的边长是，
正和正边长均为1，
，
，
，
，
即，，
，解得：，
，，
平行四边形的周长为：．
故选：B．
10．A
【分析】作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，由函数解析式确定的坐标是，的坐标是，根据全等三角形的判定和性质得出，，，结合图形求解即可．
【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点
在中，
令，解得：，
即的坐标是．
令，解得：，
即的坐标是．
则，．
∵，
∴，
又∵直角中，，
∴，
在和中，
，
∴()，
同理，，
∴，，
故的坐标是，的坐标是．
代入得：，
则函数的解析式是：．
∴，
则的纵坐标是，
把代入得：．即的坐标是，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题
11．7
【分析】本题考查了算术平均数，掌握平均数的公式是解题的关键．
根据平均数的公式进行计算即可．
【详解】解：∵数据，，的平均数是3，
∴，
∴
．
故答案为：7．
12．
【分析】本题考查了绝对值的化简，二次根式的化简，同时考查了利用数轴比较数的大小，由在数轴上对应的点的位置可得：，从而得到，再利用绝对值和二次根式的意义化简即可．熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．
∴，
解得：．
故答案为：．
14．1
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，中位线定理是解题的关键．
根据平行四边形的性质，结合角的平分线，得到，再由角平分线及等量代换确定，根据等角对等边得出，结合E是的中点，O是的中点，得到是的中位线，计算即可，
【详解】∵平行四边形的对角线、相交于点O，
∴，，O是的中点，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：1．
15．
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及中位线定理，作，则为的中点，根据题意可得，由三角形中位线定理可得是解决问题的关键．
【详解】解：在正方形中，，则，
作，则为的中点，
∴，
由点到直线垂线段最短可知，，
∵，分别是，的中点，
∴，
即：HG长度的最小值为，
故答案为：．
16． 16
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠问题．根据已知条件可得，进而得出根据反比例函数系数的几何意义得出；过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，证明得出，，则，根据得出，进而求得，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
．
过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，如图所示
则．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
又∵
∴，
，，
，
，
，
，
解得．
，
．
故答案为：．
三、解答题
17．(1)解：
(2)
18．(1)解：，
，
或，
∴，；
(2)解：，
，
，
或，
∴，．
19．(1)解：，
∵八年级(1)班有50位学生，
∴中位数应该是第25、26两个数的和的平均数，
∵，，
∴这个样本数据的中位数落在第3组；
故答案为：12；3；
(2)解：如图所示：
(3)解：∵八年级(1)班学生人数为50人，而一分钟跳绳次数不低于120次的有人，
∴．
∴估计一分钟跳绳次数不低于120次的八年级学生大约432名．
20．(1)解：如图所示：

由图可知：v与t之间成反比例函数；
(2)设，将代入，得：，
∴；
∵，
∴；
(3)由图象可知，时，随着的增大而减小；
∴当时，取最大值为：；当时，取最小值为：；
∴．
21．(1)四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，，
，
；
(2)，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
(3)，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
．
22．(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，则6月份的销售量为，
根据题意得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
(2)设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为(件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
23．(1)证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
(2)过点A作交于点M，连接，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
根据勾股定理，得，
解得，
∴，
∵，
根据勾股定理，得，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
24.(1)解：，，为中点，
，
设，
又，
，
，
，
；
(2)由(1)得，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
设点的坐标为，
轴，
，，，，
，
，
解得：，
点的坐标为；
(3)由(1)知，
反比例函数的解析式为，
点在双曲线上，点在轴上，
设，，
①当为边时：
如图1，若为平行四边形，

则，
解得，
此时，；
如图2，若为平行四边形，

则，
解得，
此时，；
②如图3，当为对角线时，

，且；
，
解得，
，；
故点的坐标为或或．

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