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2.2 导数的概念及其几何意义 同步课时作业
一、选择题
1．已知，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
2．若函数在处可导,则( )
A. B. C. D.
3．已知直线是曲线在处的切线,则b的值为( )
A.1 B.0 C. D.
4．曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5．曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6．设函数在处存在导数为2,则( )
A. B. C.2 D.4
7．若是函数的导数,且,则( )
A.-2 B. C. D.2
8．已知函数在处可导，且，则( )
A.-9 B.9 C.-1 D.1
二、多项选择题
9．若直线与曲线相切，则m的值可以为( )
A. B.2 C.4 D.5
10．已知函数,则( )
A.的定义域为
B.的图像在处的切线斜率为
C.
D.有两个零点,,且
11．已知，若函数的图像在点处的切线与x轴平行，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．已知曲线在处的切线与y轴垂直，则实数a的值为________.
13．曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为________.
14．已知曲线,则曲线过原点的切线方程为________.
15．已知函数，则曲线在点处的切线方程为________.
四、解答题
16．已知函数，
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
17．已知曲线，
(1)若，与在公共点处的切线重合，求p；
(2)若与相交于A，B(A在B的左侧)两点，记直线AB的斜率为k
(i)求证：；
(ii)若，设，证明：
18．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）判断方程在上的解的个数，并加以证明.
19．已知函数的图像在点处的切线方程是，则._________.
20．已知函数,其中,,当时,求曲线在点处的切线方程.
参考答案
1．答案：D
解析：令，可得，
即，解得，
由，
可得，
令，可得，
解得，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为函数在处可导,
所以,
故选：B.
3．答案：D
解析：由函数,可得,
因为直线与曲线的切点为
可得,解得,可得,即,
将点代入切线,可得,解得.
故选：D.
4．答案：C
解析：因为
，
所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为.
故选：C
5．答案：A
解析：因为,所以,所以在点处的切线斜率,
所以在点处的切线方程为,即.
故选：A.
6．答案：A
解析：由导数的定义可知.
故选：A.
7．答案：B
解析：由导数的定义可得,
则.
故选：B.
8．答案：B
解析：
.
故选：B
9．答案：AD
解析：由，得，
设切点为，则得，
即，解得，所以或5.
10．答案：BCD
解析：由题意,,
对于选项A,易知且,故选项A错误,
对于选项B,因为,则,故选项B正确,
对于选项C,因为,所以,故选项C正确,
对于选项D,由选项可知,易知在和上单调递增,
因为,
,
所以,使得,
又因为,则,结合选项C,得,
即也是的零点,则,,故,故选项D正确,
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：，
由题意知.
对于A，因为，，
所以，所以，故A正确；
对于B，同理，所以，故B错误；
对于C，若，，，则，故C错误；
对于D，由，得，
由，得，
所以，故D正确
故选：AD
12．答案：/0.5
解析：对函数求导得，，
因为曲线在处的切线与y轴垂直，
所以，解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：，
根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为.
故答案为：
14．答案：
解析：由,则,
设切点为,
所以,解得,
所以切点为,切线的斜率
所以过原点的切线方程为:,即.
故答案为:
15．答案：
解析：由题意，点是切点，，则；
故曲线在点处的切线方程为：，
即.
故答案为：.
16．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)当时，，
，则，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(2)函数的定义域为，
求导得，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，由，得；
由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
17．答案：(1)
(2)(i)证明见解析
(ii)证明见解析
解析：(1)若，则，
因为与在公共点处的切线重合，
不妨设为公共点的横坐标，
则，且，
所以，于是，
解得，所以
(2)设，，其中
(i)由为增函数，知，所以
则
.
依题意，有，
且，
两式相减，得.
令，则，
且，解得，，
所以
.
记，
则，
令，求导得，
故单调递减，故，
所以在上单调递增，
故，所以式成立，
从而式成立，所以.
(ii)若，，
则
因为，故只需证明.
由(i)知，只需证，
即要证.
记，
则.
因为，
所以，所以.
所以，
故在上单调递增，
所以，
所以式成立，所以.
18．答案：（1）
（2）有3个解.证明见解析
解析：（1）由得.
因为直线的斜率为，且过点，
所以，，
所以，，
所以.
（2）方程在上有3个解.证明如下：
令，
则.
又，，
所以在上至少有1个零点.
又时，，
所以在上单调递减，
所以在上只有1个零点.
当时，，则，
所以函数在上无零点.
当时，令，则，
所以在上单调递增.
又，，
所以，当时，，则，当时，，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，，
所以函数在上有2个零点.
综上，方程在上有3个解.
19．答案：5
解析：由导数的几何意义可得，
将点代入切线方程可得，
所以.
故答案为5.
20．答案：
解析：当时,,
所以,所以,,
所以切线方程为：,即：.

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