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2.3 导数的计算 同步课时作业
一、选择题
1．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
2．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3．下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
4．若,则等于( )
A. B.3 C. D.6
5．已知,则( )
A. B. C.16 D.-16
6．已知，则的值为( )
A. B. C. D.0
7．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图像连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为( )
A.1 B.e C. D.
8．已知函数,则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
10．已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是( )
A. B. C. D.
11．下列结论中正确的有( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知函数满足,则_________.
13．若函数，则___________.
14．已知函数,则的值为__________.
15．函数在R上可导，且.写出满足上述条件的一个函数：___________.
四、解答题
16．求下列函数在给定点处的导数：
（1）在处的导数；
（2）在处的导数；
（3）在处的导数；
（4）在处的导数.
17．（例题）假设某地在20年间的年均通货膨胀率为，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）之间的关系为，其中为时的物价.假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
18．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
（6）.
19．已知函数.讨论函数的单调性.
20．求下列函数的导函数.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
参考答案
1．答案：D
解析：选项A.,故选项A不正确.
选项B.,故选项B不正确.
选项C.,故选项C不正确.
选项D.,故选项D正确.
故选：D.
2．答案：D
解析：选项A.,故选项A不正确.
选项B.,故选项B不正确.
选项C.,故选项C不正确.
选项D.,故选项D正确.
故选：D.
3．答案：C
解析：对于A,,故A错误;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,,故D错误.
故选:C.
4．答案：D
解析：因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
故选:D.
5．答案：B
解析：因为,所以,
所以.
故选：B.
6．答案：D
解析：，
因此，.
故选：D.
7．答案：C
解析：由可得，
令为函数在上的“拉格朗日中值点”，
则，
解得.
故选：C
8．答案：C
解析：因为,所以,
则,所以,
则,所以,,.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：对于A,,故A错误;
对于B, ,故B正确;
对于C, ,故C正确;
对于D, ,故D正确.
故选：BCD.
10．答案：ABC
解析：
A √ ，令，得或，有“巧值点”.
B √ ，令，得，有“巧值点”.
C √ ，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”.
D × ，令，得，与矛盾，没有“巧值点”.
11．答案：CD
解析：，A错误；，B错误；，C正确；，D正确.
12．答案：
解析：
13．答案：-1
解析：因为，
所以，
得到，
解得，
故答案为：-1
14．答案：
解析：,,
解得,故,
故答案为1.
15．答案：（答案不唯一）
解析：根据题意，可以考虑指数函数，如，其导数，满足.（其他答案合理均可.）
16．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）因为，所以，
所以在处的导数为；
（2）因为，所以，
所以在处的导数为；
（3）因为，所以，
所以在处的导数为；
（4）因为，所以，
所以在处的导数为.
17．答案：0.08元/年
解析：根据基本初等函数的导数公式表，有.
所以.
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
18．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解析：（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，所以；
（4）因为，所以；
（5）因为，所以；
（6）因为，所以.
19．答案：答案见解析
解析：（ⅰ）由已知可得,,定义域,
所以.
当时,.
当时,有,在上单调递增;
当时,有,在上单调递减.
（ⅱ）当时,,
解,
可得,或（舍去负值）,且.
解可得,或,所以在上单调递增,在上单调递增;
解可得,,所以在上单调递减.
（ⅲ）当时,在上恒成立,
所以,在上单调递增.
综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递增.
20．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）.
（2）.
（3）因为，所以.
（4）因为
，
所以.

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