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2.5 简单复合函数的求导法则 同步课时作业
一、选择题
1．若函数，则等于( )
A. B. C. D.
2．已知函数的导函数是，且，则实数( )
A. B. C. D.1
3．下列选项正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
4．设函数，则( )
A.0 B.60 C. D.
5．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线的斜率是( )
A.1 B.2 C.e D.
6．下列函数求导错误的是( )
A.
B.
C.
D.
7．已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则( )
A. B.
C. D.
8．若存在函数，想求解出的图象与直线，和x轴围成的面积，我们可以将转化为“”（其中a为任意常数），用“”表示“的图象与直线，和x轴围成的面积”.不难发现“”，我们称为的“面积函数”.那么函数的图象与直线，和x轴围成的面积是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10．已知曲线，则曲线过点的切线方程为( )
A. B. C. D.
11．下列求导运算正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
三、填空题
12．定义在R上的可导函数满足：①；②值域为；③对任意，有及，请写出同时满足上述所有条件的一个函数解析式：__________.
13．已知函数在R上可导，，则__________.
14．若数列为等比数列，其中，，，为函数的导函数，则___________.
15．已知函数在R上可导，函数，则__________.
四、解答题
16．（例题）某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为.求函数y在时的导数，并解释它的实际意义.
17．已知直线与曲线有公共点，求实数k的最大值.
18．求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
19．求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
20．已知函数，其中，求.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得，故.
故选：B.
2．答案：B
解析：由，得，则，解得.故选B.
3．答案：A
解析：
A √ .
B × .
C × .
D × .
4．答案：B
解析：，所以.
5．答案：B
解析：方法一：当时，，.又为偶函数，所以当时，，对应导函数为，所以，即所求的切线斜率为2，故选B.
方法二：因为是偶函数，所以点关于y轴的对称点在的图象上.因为，所以.因为函数是偶函数，所以的图象在关于y轴对称的点处的切线的斜率互为相反数，所以曲线在点处的切线斜率是2.
6．答案：C
解析：对于A，，正确；
对于B，，正确；
对于C，，不正确；
对于D，，正确.
故选：C.
7．答案：D
解析：由为偶函数知，，即，
即函数关于对称，则，
由是奇函数知，，即函数关于点对称，
则，且，
所以，即，即函数的周期是4，
则；
又
所以，则，即
所以，即导函数关于点对称，且.
由，即导函数的周期是4，
则；
所以.
故选：D.
8．答案：A
解析：由题意，不妨设，其中，
则，
，解得，
，
，即函数的图象与直线，和x轴围成的面积是，
故选：A.
9．答案：CD
解析：对于A选项,,A错误;
对于B选项,,B错误;
对于C选项,,C正确;
对于D选项,,D正确.
故选:CD.
10．答案：BD
解析：设切点坐标为，因为，所以切线斜率，切线方程为，又切线过点，所以，化简得，即，解得或，则曲线过点的切线方程为或.
11．答案：CD
解析：若,则,故A错误;
若,则,故B错误;
若,则,故C正确;
若,则,故D正确,
故选:CD.
12．答案：（答案不唯一）
解析：因为的值域为，所以可设，
又，则，
所以，则的周期为4，
所以，则，
又，则，，取，
所以，
则，
又，
即满足，
.
故答案为：.
13．答案：0
解析：由题知，则.
14．答案：
解析：因为为等比数列，，，所以.，则.
15．答案：0
解析：因为，所以，所以.
16．答案：，表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为
解析：函数可以看作函数和的复合函数，
根据复合函数的求导法则，有
.
当时，.
它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为.
17．答案：
解析：因为可化为，
所以该直线过定点.
当过点的直线与曲线相切时，
设切点的坐标为，
由，得，
则，解得，
所以切点的坐标为，此时切线的斜率为.
作出曲线，如图所示.
由图可知，，故实数k的最大值为.
18．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）.
（2）因为，
所以.
（3）.
（4）.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）.
20．答案：
解析：因为，
所以.

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