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2.6用导数研究函数的性质 同步课时作业
一、选择题
1．若函数在上为单调减函数,则m的取值范围( )
A. B. C. D.
2．函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
3．设,若函数在内存在极值点,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知函数，则有( )
A. B.
C. D.
5．函数在内存在极值点，则( )
A. B. C.或 D.或
6．已知函数的极小值点为0，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．函数的单调递减区间是,则( )
A.16 B.6 C.4 D.2
8．若函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知函数的定义域为R,其导函数为,且对任意的,都有,则下列正确的是( )
A. B.
C. D.
10．已知函数在时有极值为,则( )
A.11 B.4或11 C.4 D.8
11．已知,,,则下列大小关系中正确的有( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．若函数的值域为,则实数a的取值范围是__________.
13．若函数的值域为，则实数a的取值范围是________.
14．已知函数在区间内恰有两个极值点,则实数m的取值范围为______________.
15．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
16．已知函数.
(1)若为的极大值点，求实数a的值；
(2)若，求在区间上的最值；
17．设
(1)求的极值点;
(2)求的单调区间;
(3)求在的最大值与最小值;
(4)画的草图.
18．已知函数
（1）求函数的最小值.
（2）设函数,若存在区间,使在上的值域是,求k的取值范围
19．已知函数
（1）求函数的最小值.
（2）设函数,若存在区间,使在上的值域是,求k的取值范围
20．已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在区间上的最小值为0,求实数a的值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,则,
由题意可知,对任意的恒成立,则,
当时,在上单调递减,在上单调递减,
所以,,故.
故选：A.
2．答案：D
解析：,
因为恒成立,
所以当时,,
即函数的单调递增区间是.
故选:D.
3．答案：B
解析：依题意,在内存在变号零点,而不是的零点,
从而得,又在上递增,所以.
故选：B.
4．答案：A
解析：因为在定义域上，
，
所以在上是增函数，
所以有，故选A.
5．答案：A
解析：由题意知：在内存在变号零点，
即在内有解，则，
易得在内单调递减，
值域为，故.
故选：A.
6．答案：A
解析：由，
可得，
因为函数的极小值点为0，
所以，
若，则，
所以在R上单调递增，故函数无极小值，
又函数的极小值点为0，故，
又时，令，可得或，
当，所以，当，，
所以0是函数的极小值点，符合题意，
又时，令，可得或，
当，，当，，
所以0是函数的极大值点，不符合题意，
综上所述：m的取值范围是.
故选：A.
7．答案：A
解析：由题可知,因为函数有单调递减区间,所以;
令,则,又,故,
即的单调递减区间是,可得,,.
故选:A.
8．答案：C
解析：对恒成立,
故,即恒成立,
即对恒成立,构造,
开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,
故只需保证,解得．
故选：C．
9．答案：BD
解析：令,所以,
因为,所以,所以在R上单调递增,
所以,
即,
则,,故AC错误,BD正确.
故选：BD.
10．答案：A
解析：,由题意,解得,.
此时,,
当时,,当时,,故函数在时取得极小值,合乎题意.
因此,.
故选：A.
11．答案：ACD
解析：构造函数,其中,则,
由可得,由可得,
所以,函数的增区间为,减区间为,
因为,,
,
因为,故,即,即,
故选：ACD.
12．答案：
解析：当时,,当且仅当时,等号成立,
所以,函数在上的值域为的子集,
当时,,则,
由可得,由可得,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
故当时,,即函数在上的值域为,
由题意可得,即,解得.
因此,实数a的取值范围是.
故答案为:.
13．答案：
解析：当时，，
当且仅当时，等号成立，
所以，函数在上的值域为的子集，
当时，，则，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
即函数在上的值域为，
由题意可得，即，解得.
因此，实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意可得,当时,,
由函数在内恰有两个极值点,可知,解得.
故答案为：.
15．答案：
解析：
，
若在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
则在区间上恒成立，
，
，
，
则.
故答案为：.
16．答案：(1)
(2)最大值为1，最小值为-17
解析：(1)由已知，
因为为的极值点，
令，
解得或，
当时，，
令，解得或，
令，解得，
即函数在上单调递减，
在和上单调递增，为的极小值点，
当时，，
令，得或，
令，得，
即函数在上单调递减，在和上单调递增，
为的极大值点.
综上所述：若为的极大值点，；
(2)若，则，
则，
因为，所以令，
得或，
令，得，
即函数在上单调递减，
在和上单调递增，
又，
，，
所以在区间上的最大值为1，最小值为-17.
17．答案：(1)极小值点,极大值点;
(2)单调递增区间为,单调递减区间为和;
(3)最大值为63,最小值为0;
(4)草图见解析.
解析：由题意,,令,解得,,,
当x变化是,,变化状态如下表：
x
0 0
极小值 极大值
(1)为为的极小值点,为的极大值点;
(2) 的单调递增区间为,单调递减区间为和;
(3)由表可知,的极小值为,的极大值为,
又因为,
故在上的最大值为63,最小值为0;
(4)的草图如下所示：
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
设,,,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,从而,即恒成立.
故,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,从而的最小值为.
（2）因为函数,令,,当时,,在上单调递增,
,在上单调递增,
,在上单调递增,
在上值域为,
方程在上有两解a,b.
即在上有两解,
令,,所以,
令,则,
即在上单调递增,又,
所以当时,,即,
当时,,即
即在内单调递减,在内单调递增,又,,
又因为,
若要在上有两解,
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
设,,,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,从而,即恒成立.
故,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,从而的最小值为.
（2）因为函数,令,,当时,,在上单调递增,
,在上单调递增,
,在上单调递增,
在上值域为,
方程在上有两解a,b.
即在上有两解,
令,,所以,
令,则,
即在上单调递增,又,
所以当时,,即,
当时,,即
即在内单调递减,在内单调递增,又,,
又因为,
若要在上有两解,
20．答案：(1)当时,在R上单调递增;当时,递减区间为,递增区间为;
(2).
解析：(1)当时,函数,在R上单调递增,
当时,,令,得,
所以当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;
(2)由(1)可知,当时,函数,不符合题意;
当时,在上单调递减,在上单调递增,
①当,即时,最小值为,
所以,得,符合题意,
②当,即时,最小值为,
由,得,不符合题意,
综上,.

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