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2.7 导数的应用 同步课时作业
一、选择题
1．长征五号B运载火箭是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭.长征五号B运载火箭的整流罩外形是冯·卡门曲线外形，可以更好地减小空气阻力，减轻载荷所受影响.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型，近似一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥的母线长为6，且圆锥的高与圆柱的高之比为，则该模型体积的最大值为( )
A. B. C. D.
2．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“知名品牌”A系列进行市场销售量调研，通过对该系列的调研得知，A系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格x（单位：百元/千克）近似满足关系式，其中，a为常数.已知销售价格为6百元/千克时，每日可售出A系列3千克.若A系列的成本为4百元/千克，则该商场每日销售A系列所获最大利润（单位：百元）为( )
A.10 B.12 C.14 D.16
3．用长为的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长总和为），要求长方体的长与宽之比为，则该长方体的最大体积是( )
A. B. C. D.
4．进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500km，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h～110km/h.已知车队每小时运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度vkm/h的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为( )
A.80km/h B.90km/h C.100km/h D.110km/h
5．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，P在弦MN的同侧.设，当的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时( )
A. B. C. D.0
6．某社会实践小组需要对一个实心圆锥形工件进行加工，该工件底面半径为，高为，加工方法为挖掉一个与该圆锥形工件同底面共圆心的内接圆柱，若要求加工后工件的质量最轻，则圆柱的半径应设计为( )
A. B. C. D.
7．做一个容积为立方米的圆柱形无盖（有底）水箱，为使用材料最省，它的底面半径r为( )
A.1米 B.米 C.2米 D.米
8．生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只.现有如下结论：
①该生物种群的数量不超过40000只；
②该生物种群数量的增长速度逐年减小；
③该生物种群数量的年增长量不超过10000只.
其中所有正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、多项选择题
9．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有( )
A.年产量为9000件 B.年产量为10000件
C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元
10．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且
当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有( )
A.年产量为9000件 B.年产量为10000件
C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元
11．若将一边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，则下列说法中正确的是( )
A.当时，方盒的容积最大 B.当时，方盒的容积最小
C.方盒容积的最大值为 D.方盒容积的最小值为
三、填空题
12．如图,A、B两点分别在x、y轴上滑动,,P为垂足,P点轨迹形成“四叶草”的图形,若,则的面积最大值为_________________.
13．某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
14．用铁皮围成一个容积为8的有盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_____.（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计）
15．一个箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，______．
四、解答题
16．从物理学中我们知道，如果电源的电动势为E，内阻为r，外阻为R，则电源的输出功率为.假设E与r保持不变，计算外阻R为多少时，电源的输出功率最大.
17．已知正方形ABCD的边长为1，而E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且四边形EFGH也是正方形，求四边形EFGH面积的最小值.
18．如图所示，现要建一条高速公路连接城市A与城市B，且B在一条旧公路尽头，A距旧公路最近的点C的距离为，B，C之间的距离为.如果新建高速公路的成本为每千米300万元，将旧公路改造成高速公路的成本为每千米200万元.试判断高速公路怎样建才能使得成本最低.
19．（例题）如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是，岸边的医药公司A与点B的距离为，现有一批药品要尽快送达海岛码头.已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车的速度为，快艇的速度为.试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？
20．将长为的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则铁丝应怎样截？
参考答案
1．答案：C
解析：设圆锥的高为，则圆柱的高为3h，底面圆半径为，则该模型的体积.令，则，由，得，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减.所以当时，取到最大值，模型的体积V取到最大值，故选C.
2．答案：A
解析：由题意知，，即，故，所以.利润，，则y在上单调递增，在上单调递减，故（百元）.
3．答案：B
解析：设该长方体的宽是，由题意知，其长是，高是，则该长方体的体积，.由，得或（舍去），且当时，；当时，，即在处取得极大值，为，也是函数在定义域上的最大值.所以该长方体体积的最大值是.故选B.
4．答案：C
解析：设运输成本为y元，依题意可得，
则，
所以当时，当Error! Digit expected.时，当d时，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值即最小值，所以时全程运输成本最低；故选：C.
5．答案：C
解析：等腰中，，设的面积为，
则，，
求导
，
令，即，解得：（舍去负根），
记，，
当，，函数单调递增；
当，，函数单调递减；
故当时，即，取得极大值，即最大值，
则
故选：C.
6．答案：A
解析：设挖去的圆柱的底面半径为r，高为h，取圆锥的轴截面，如下图所示：
设圆柱的截轴截面为矩形，底面圆圆心为O，连接交于点K，
因为，则，即，可得，其中，
圆柱的体积为，其中，
，令，可得，列表如下：
r
+ 0 -
增 极大值 减
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取最大值，此时，加工后的几何体的体积取最小值，
故选：A.
7．答案：C
解析：由题，圆柱的高h满足，则，故所用材料面积有，求导可得，故当时，；当时，，故当时，S取得最小值
故选：C
8．答案：C
解析：由题意得：
，即，解得，故.因为，故①正确；
因为，可知当时，单调递增，当时，单调递减，故该生物种群数量的增长速度先增大后减小，故②错误；
当时，，故③正确.
故选C.
9．答案：AD
解析：设年利润为W.
当时，，
.令，得（舍负），且当时，
；当时，；
所以当时，年利润W取得最大值38.6；
当时，，.
令，得（舍负），所以当时，年利润W取得最大值38.
因为，所以当年产量为9000件时，
该公司在这一品牌服装的生产中
所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元.
故选：AD.
10．答案：AD
解析：设年利润为W.当时，，
.令，得(舍负)，且当时，
：当时，；
所以当时，年利润W取得最大值38.6；
当时，，.
令，得(舍负)，所以当时，年利润W取得最大值38.
因为，所以当年产量为9000件时，
该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元.
11．答案：AC
解析：方盒的容积为，则，令，则或，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以.故选AC.
12．答案：
解析：设,则为锐角,所以,,
因为,则,
,所以,,
令,其中,
则,
因为,则,则,
由,可得,可得,
由,可得,可得,
所以,函数在上单调递增,在上单调递减,
故当时,.
所以,面积的最大值为.
13．答案：5
解析：依题意可设每月土地占用费，每月库存货物的运费，其中x是仓库到车站的距离．
于是，由，得；由，得.
因此两项费用之和为..令，得(舍去)，且当时，；当时，，
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
14．答案：24
解析：设该正四棱柱形水箱底面边长为xm，则高为m，设需用铁皮的面积为y，
则，
由，得，
当时，，当时，，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，
当时，函数取得最小值，最小值为，
即需用铁皮的面积至少为.
故答案为：.
15．答案： 60
解析：因为，
所以，
，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
故答案为：60
16．答案：
解析：，
令，得（负值舍去），
易知当时，电源的输出功率最大.
17．答案：
解析：如图，设，则.
，
四边形EFGH的面积，
则，令，得.
易知.
当时四边形EFGH的面积取得最小值，最小值为.
18．答案：
解析：设将旧公路改造，其中，
则成本
.
.
令，得（负值舍去）.
易知将旧公路改造时，成本最低.
19．答案：点C选在离点B为时可使运输时间最短
解析：设点C与点B的距离为，运输时间为，
则，.
由，
令，可解得.
因此可知在上单调递减，在上单调递增，从而在时取得最小值.
这就是说，点C选在离点B为时可使运输时间最短.
20．答案：铁丝截12段时容积最大
解析：设正四棱柱的底面边长为，高为，
则.
，
，令得或（舍）.
易知铁丝截12段时容积最大.

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