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浙江省2025年中考数学适应性训练卷
满分120分 时间120分钟
一、选择题（共30分）
1．实数，，0，中，最小的是（ ）
A． B． C．0 D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将长方形绕一边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，某十字路口有交通信号灯，在东西方向上，红灯开启秒后，紧接着绿灯开启秒，再紧接着黄灯开启秒，然后接着又是红灯开启秒……按这样的规律循环下去，在不考虑其他因素的前提下，当一辆汽车沿东西方向随机行驶到该路口时，遇到绿灯开启的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．计算的结果是（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　）
A． B．
C． D．
9．抛物线经过点．若，则该抛物线的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（共18分）
11．的绝对值是 ．
12．分解因式： ．
13．正六边形的内切圆半径与外接圆半径之比为 ．
14．定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ．
15．一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对 道题．
16．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．

三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解不等式组，并写出其整数解．
19．（8分）如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图：

(1)在图1中作的中线．
(2)在图2中找一格点，连接，使与互补．
20．（8分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线交于点H．经测量，点A距地面，到树的距离，．求树的高度（结果精确到）．
21．（8分）小亮所在的学校共有900名初中学生，小亮同学想了解本校全体初中学生的年龄构成情况．他从全校学生中随机选取了部分学生，调查了他们的年龄(单位：岁)，绘制出如图所示的学生年龄扇形统计图．
(1)直接写出m的值，并求全校学生中年龄不低于15岁的学生大约有多少人；
(2)利用该扇形统计图，你能求出样本的平均数、众数和中位数中的哪些统计量？请直接写出相应的结果；
(3)小红认为无法利用该扇形统计图求出样本的方差．你认同她的看法吗？若认同，请说明理由；若不认同，请求出方差．
22．（10分）在如图所示的平行四边形中，射线、分别平分、，且分别交边、于点、，已知．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若为的中点，且的面积等于，求平行线与间的距离．
23．（10分）约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“和谐”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)在同一平面直角坐标系中，若关于的二次函数与它的“和谐”函数的图象顶点分别为点，点，函数的图象与轴交于不同两点，，函数的图象与轴交于不同两点，．当时，以，，，为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
(2)对于任意非零实数，，点与点始终在关于的函数的图象上运动，函数与互为“和谐”函数．
①求函数的图象的对称轴；
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
24．（12分）已知ABC内接于⊙O，AD⊥OB于D．
（1）如图1，求证：∠BAD＝∠ACB；
（2）如图2，若AB＝AC，求证：BC＝2AD；
（3）如图3，在（2）条件下，延长AD分别交BC、⊙O于点E、F，过点A作AG⊥BF于点G，AG与BD交于点K，延长AG交⊙O于点H，若GH＝2，BC＝4，求OD的长．

参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A D B A B C B
1．B
【分析】本题考查了有理数的大小比较，负数小于0，0小于正数，据此进行作答即可．
【详解】解：依题意，
∴，
故选B．
2．C
【分析】根据中心对称图形的定义（如果一个图形沿着一个点转后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做中心对称图形）对四个选项进行分析．本题主要考查了中心对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键．
【详解】解：根据中心对称图形的定义可知：A、B、D的图形不能沿着一个点转后两部分完全重合，故都不是中心对称图形，只有C是中心对称图形．
故选：C．
3．D
【分析】根据同底数幂的乘法运算可判断A，根据合并同类项可判断B，根据平方差公式可判断C，根据积的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，合并同类项，平方差公式的应用，积的乘方运算，熟记以上基础的运算法则是解本题的关键．
4．A
【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，将长方形绕一边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是圆柱，由此即可得解．
【详解】解：将长方形绕一边所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是圆柱，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查的知识点是概率公式的应用，解题关键是熟练掌握概率公式．
根据概率公式随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数，即可求解．
【详解】解：红灯开启秒后，绿灯开启秒，再黄灯开启秒，
，
故选：．
6．B
【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数．
【详解】∵过点作于点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
将代入上式，
可得，
故选．
7．A
【分析】根据同分母分式相加减的法则计算即可．
【详解】解：原式=
故选A．
【点睛】此题主要考查了分式的加减法，解决本题的关键是熟记同分母分式相加减的法则．
8．B
【分析】根据题意，溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解．
【详解】解：∵溶液呈碱性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，确定顶点坐标符号是解题关键.
由的纵坐标相等，可以确定抛物线对称轴，确定，将代入抛物线，确定的正负情况，结合顶点坐标进一步确定正负情况，即可确定纵坐标的正负，明确顶点位置．
【详解】解：抛物线经过点，
该抛物线的对称轴为
抛物线经过，且
该抛物线开口向上
当时，
带入得
顶点坐标为
顶点横坐标为
顶点在轴左侧
又纵坐标为，
顶点在第三象限．
故选：C．
10．B
【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．
【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．
【详解】解：的绝对值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是正确解答的关键．
12．
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13．
【分析】先根据正六边形的性质确认其内切圆和外接圆的圆心位置，再利用正六边形的性质求解即可得．
【详解】如图，六边形ABCDEF是正六边形
连接AD、CF，交于点O，过点O作于点G
由正六边形的性质可知，点O是正六边形的内切圆和外接圆的圆心，OC为其外接圆的半径，OG是其内切圆的半径，且是等边三角形
设
则在中，，
因此，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、直角三角形的性质等知识点，根据正六边形的性质确定圆心的位置是解题关键．
14．
【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得．
【详解】解：，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键．
15．
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设小明答对道，根据“一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，有2题没答，竞赛成绩要不低于83分”可得相应的一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，列出不等式．
【详解】解：设小明答对道，根据题意得：
解得：
∴小明至少要答对道题．
故答案为：．
16．/
【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，

∴，
∵，
∴
∴
∴
∵点的坐标为．
∴，
∴
∵在反比例函数的图象上，
∴
解得：或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键．
17．
【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．
18．不等式组的解集为，其整数解分别为、、0、1、2．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解．
【详解】解：解不等式，得；
解不等式，得．
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解分别为、、0、1、2．
【点睛】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图，连接与交点即为中点D，连接即可；
（2）如图，过点A作，则点E即为所作．
【详解】（1）如图，点D即为所作，

（2）如图，点E即为所作，
【点睛】本题考查限定工具作图，掌握矩形的对角线互相平分和两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
20．树的高度为
【分析】由题意可知，，，易知，可得，进而求得，利用即可求解．
【详解】解：由题意可知，，，
则，
∴，
∵，，
则，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
答：树的高度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键．
21．(1)，人．
(2)样本的平均数是15岁，样本的众数为14岁，样本的中位数为15岁
(3)不认同．
【分析】本题考查扇形统计图，求加权平均数，方差，中位数，众数等知识，掌握相关公式是解题的关键．
（1）先求出16岁学生占比，继而求出m，用全校学生数乘以不低于15岁的占比即可得出其人数；
（2）运用加权平均数计算公式、众数和中位数的定义求解即可；
（3）样本容量为n，运用方差公式求解即可，注n可以约去从而可求出此方差．：
【详解】（1）解：依题意得：16岁学生占比为：
∴．
∵样本中学生年龄不低于15岁的大约占，
∴全校学生中年龄不低于15岁的学生大约有(人)．
答：的值为20，全校学生中年龄不低于15岁的学生大约有540人；
（2）依题意得：样本的平均数为：(岁)
样本中，14岁最多，即样本的众数为14岁，
13到14岁占比为，13到15岁占比为，
∴排中间的两个年龄都是15岁，
∴样本的中位数为15岁，
综上所述：样本的平均数、众数和中位数分别为15岁、14岁、15岁；
（3）不认同，计算方差如下：
设样本容量为n，则：．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形；
（2）连接，先证明是等边三角形，得到，再证，，于是有，最后根据面积公式即可求得．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别平分、，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，
由（1）知，，
，
为的中点，
，
四边形是菱形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
平行线与间的距离为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．(1)以，，，为顶点的四边形能构成正方形，
(2)①；②是，函数的图象过定点，
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
（1）根据题意得到，，，即可求解．
（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式，即可求解．
②，令，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，，
由题意可知，，
，
，，
且，
．
I.若，则，
要使以，，，为顶点的四边形能构成正方形，
则，为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
II.若，则、关于轴对称，以，，，为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，当时，以，，，为顶点的四边形能构成正方形，此时．
（2）①点与点，始终在关于的函数的图象上运动，
对称轴为，
，
，
对称轴为．
答：函数的图象的对称轴为．
②，
令，
解得，
过定点，．
答：函数的图象过定点，．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）延长BO交⊙O于点M，连接AM，根据同弧所对的圆周角相等可得∠M＝∠ACD，由直径所对的圆周角是直角可得∠BAM＝90°，再利用同角的余角相等即可证得结论；
（2）连接AO并延长交BC于点N，连接OC，先证明△BAO≌△CAO （SSS），再证明Rt△BNO≌Rt△ADO（AAS），即可证得结论；
（3）连接BH，FH，OA，先证明Rt△BGH≌Rt△BGK（AAS），再证明△BAK≌△BFH（SAS），设AK＝FH＝m，可得AG＝m+2，运用勾股定理求出m，再设OD＝n，OA＝OB＝4﹣n，再运用勾股定理求出n，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图1，延长BO交⊙O于点M，连接AM，
∵，
∴∠M＝∠ACD，
∵BM为⊙O的直径，
∴∠BAM＝90°，
在Rt△BAM中，∠ABM+∠M＝90°，
∵AD⊥OB于D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠ABM+∠BAD＝90°，
∴∠M＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠ACB；
（2）如图2，连接AO并延长交BC于点N，连接OC，
在△BAO和△CAO中，，
∴△BAO≌△CAO （SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
在Rt△BNO和Rt△ADO中，，
∴Rt△BNO≌Rt△ADO（AAS），
∴BN＝AD＝BC，BC＝2AD；
（3）如图3，连接BH，FH，OA，
∵BD⊥AF，BD经过圆心O，
∴，AD＝DF，
∴AB＝BF，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BD⊥AF，AG⊥BF，
∴∠ADB＝∠AGB＝90°，
∵∠AKD＝∠BKG，∠KAD+∠AKD＝∠KBG+∠BKG＝90°，
∴∠KAD＝∠KBG，
∵，
∴∠HBG＝∠KAD，
∴∠HBG＝∠KBG＝∠ABK，
在△BGH和△BGK中，，
∴BG=BH，
∴Rt△BGH≌Rt△BGK（AAS），
在△BAK和△BFH中，，
∴△BAK≌△BFH（SAS），
∴AK＝FH，
设AK＝FH＝m，
∵GH＝GK＝2，
∴AG＝m+2，
∵BC＝2AD，AF＝2AD，
∴AF＝BC＝4，
∵AF2﹣AG2＝FH2﹣GH2＝FG2，
∴（4）2﹣（m+2）2＝m2﹣22，
解得：m1＝6，m2＝﹣8（舍去），
∴AK＝HF＝6，AG＝8，
在Rt△FGH中，
FG＝＝＝4，
∵△ABG∽△FHG，
∴BG＝2，
∴AB＝BF＝6，
在Rt△ABD中，AD＝AF＝2，BD＝4，
设OD＝n，OA＝OB＝4﹣n，
在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，
∴（2）2+n2＝（4﹣n）2，
解得：n＝，
∴OD＝．

【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．

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