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2024-2025 学年安徽省六安市舒城县晓天中学高二下学期第三次质量
检测数学测试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.已知随机变量 服从二项分布 (3, 3 )，当 ∈ 0,1,2,3 时， ( = )的最大值是( )．
A. 8 4 1 127 B. 9 C. 9 D. 27
2.在两个变量 与 的回归模型中，分别选择了 4 个不同的模型，它们的相关指数 2如下，其中拟合效果最
好的模型是
A.模型 1 的相关指数 2为 0.87 B.模型 2 的相关指数 2为 0.97
C.模型 3 的相关指数 2为 0.50 D.模型 4 的相关指数 2为 0.25
3.某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了 10000 株作为样本，若该农作物的茎高 近似服从正态分布
50, 2 且 ( ≤ 40) = 0.2.则该农作物茎高在 50 ≤ ≤ 60 范围内的株数约为( )
A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000
4.科技博览会需从 5 个女生(分别记为 ， ， ， ， )中选 2 人参加志愿者服务，已知这 5 个人被选中的
机会相等，则 被选中的概率为( )
A. 0.25 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.75
5.小张 小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球 绘画 书法 游泳 钢琴”这五个随机选择一个，记
事件 ：“两人至少有一人选择篮球”，事件 ：“两人选择的兴趣班不同”，则概率 ( ∣ ) =( )
A. 4 5 8 49 B. 9 C. 9 D. 5
6.从数字 1,2,3 中随机取一个数字，取到的数字为 ( = 1,2,3)，再从数字 1, , 中随取一个数字，则第二
次取到数字 2 的概率为( )
A. 5 7 11 1318 B. 18 C. 18 D. 18
7.下列结论正确的是( )
A.已知一组样本数据 + + + + 1， 2，…， ( 1 < 2 < … < )，现有一组新的数据 1 2， 2 3，…， 1 ， 12 2 2 2 ，
则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B.已知具有线性相关关系的变量 ， ，其线性回归方程为 = 0.3 ，若样本点的中心为( , 2.8)，则实
数 的值是 4
C. 50 名学生在一模考试中的数学成绩 ～ (120, 2)，已知 ( > 140) = 0.2，则 ∈ [100,140]的人数为 20
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人
D. 1已知随机变量 ～ ( , 3 )，若 (3 + 1) = 6，则 = 5
8.设随机变量 服从二项分布，且期望 ( ) = 3，其中 = 15，则方差 (5 + 3)等于
A. 15 B. 20 C. 50 D. 60
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.相关变量 ， 的散点图如下，若剔除点 13 后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变小的是( )
A.样本的相关系数 B.残差的平方和
C.样本数据 的平均值 D.回归直线中的回归系数
10.下列结论正确的是( )
A. 1 1若随机变量 服从两点分布， ( = 1) = 2，则 ( ) = 2
B.若随机变量 的方差 ( ) = 2，则 (3 + 2) = 8
C. 1若随机变量 服从二项分布 4, 2 ，则 ( = 3) =
1
4
D.若随机变量 服从正态分布 5, 2 , ( < 2) = 0.1，则 (5 < < 8) = 0.4
11.下列结论中正确的是( )
A.样本相关系数 的绝对值越接近 1，则成对样本数据的线性相关程度越强
B.样本相关系数 的绝对值越接近 0，则成对样本数据的线性相关程度越弱
C.已知变量 ， 具有线性相关关系，在获取的成对样本数据 1, 1 ， 2, 2 ，…， , 中， 1， 2，…，
和 1， 2，…， 的均值分别为 和 ，则点 , 必在其经验回归直线上
D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若对甲、乙、丙 3 组不同的数据作线性相关性检验，得到这 3 组数据的线性相关系数依次为 0.83，0.72，
0.90，则线性相关程度最强的一组是 . (填甲、乙、丙中的一个)
13.对某高三学生在连续 9 次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图．下面关于这位
同学的数学成绩的分析中，正确的序号有 ．
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①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高；
②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过 40 分；
③该同学的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关．
14.从 0，1，2，3，4 五个数字中任取四个组成没有重复数字的四位数，且前三位(千百十位)中的偶数个数
记为随机变量 ，则 ( = 3) = ， ( ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
甲、乙两个袋子各装有大小相同的 3 个红球和 2 个白球，第一次从甲袋子随机取出一个球放入乙袋子.求：
(1)第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的概率；
(2)在第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋子取出的是白球的概率；
(3)第二次从乙袋子随机取出两个球，其中白球个数的分布列与期望．
16.(本小题 15 分)
某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：
日销售量/件0123
频数 1595
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后
检查存货，若发现存量少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记 为第二天开始营业时该商品的件数，求 的概率分布列及其数学期望与方差．
17.(本小题 15 分)
随着国内疫情得到有效控制，各商家经营活动逐步恢复正常，部分商家还积极推出新产品，吸引更多的消
费者前来消费．某商店推出了一种新的产品，并选择对某一天来消费这种新产品的顾客共 105 人进行满意
度调查，为此相关人员制作了如下的 2 × 2 列联表．
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满意 不满意 总计
男顾客 45
女顾客 20
总计 105
已知从全部 105 5人中随机抽取 1 人为满意的概率为7．
(1)请完成如上的 2 × 2 列联表；
(2)根据列联表的数据，是否能在犯错率不超过 5％的前提下认为“满意度与性别有关系”？
2 ≥ 0.05 0.01
3.841 6.635
( )2
附注： 2 = ( + )( + )( + )( + )．
18.(本小题 17 分)
为了带动节能减排的社会风尚，引导居民错峰用电，某地区下个月开始将实行分时电价.过去居民用电实行
的是阶梯电价，每月用电量不超过 180 度的部分，按照每度电 0.45 元收取，超过 180 度的部分，按照每度
电 0.6 元收取.而新的分时电价则是将每日 24 小时分为峰段、谷段、平段三个时段，按照峰段每度电 0.6 元，
谷段每度电 0.4 元，平段每度电 0.5 元收取.该地区一位居民为了预估自己下个月的用电费用变化，他做了
以下工作：首先，为了估计开空调与不开空调的用电量，他统计了过去一些天自己家的日均用电情况后得
出结论：开空调时的每日用电量为 10 度，不开空调时的每日用电量为 5 度.然后，他统计了一天中三个时
段的用电量比例，在开和不开空调的情况下分别如下图：
假设下个月一共 30 天，每天他开空调的概率均为 (0 < < 1).
(1)根据他统计的每日用电量数据，若下个月的某一天用电量为 度，求 的分布列和期望 ( )(用 表示)．
(2)根据他统计的各时段用电量比例，使用分时电价计价时，若开空调时的每日平均用电费用为 元，不开
空调的每日平均用电费用为 元，分别求 ， ；若使用分时电价计价时下个月某一天他的用电费用为 元，
求 的分布列和期望 ( )(用 表示)．
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(3)如果用阶梯电价计算全月电费时，将每日用电量视为 ( )；用分时电价计算全月电费时，将每日用电费
用视为 ( ).要使该居民下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用，则 的取值
范围为多少
19.(本小题 17 分)
某电子器件由若干个相同的电子模块构成，每个电子模块由 4 个电子元件按如图所示方式联接，其中每个
电子元件导通的概率均为 0.9．
(1)求每个电子模块导通的概率 (保留两位有效数字)；
(2)已知某电子器件由 20 个相同的电子模块构成，系统内不同电子模块彼此独立，是否导通互不影响，当
且仅当电子器件中不低于 50%的电子模块处于导通状态时，电子器件才能正常工作.若在该电子器件中再添
加两个相同的电子模块，试判断新电子器件较原电子器件正常工作的概率是增加还是减小？请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.丙
13.①②③
14. 1 712 ； 4
15.解：(1)设事件 表示从甲中随机取出一红球放入乙箱中，事件 表示从甲中随机取出一白球放入乙中，
设事件 表示：从甲中随机取出一球放入乙中，再从乙中随机取出一球，则取出的球是红球，
( ) = 3 , = 4 = 2 , ( ) = 2则有： 5 6 3 5 , =
3 1
6 = 2，
所以 ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = 3 2 2 1 35 × 3+ 5 × 2 = 5．
(2)设事件 为第一次从甲取出的是白球，事件 为第二次从乙随机取出一个球是红球；
( ) 2×1
则 ( | ) = ( ) = = 5 2 1 1 ( ) ( ) 3 = 3，所以 ( | ) = 3．
5
(3)第二次从乙随机取出两个球，取出的白球的个数为 ，则 = 0,1,2，
2 2
( = 0) = 3 × C4 + 2 × C3 = 3 × 6 + 2 × 3 = 85 2 2 ，C6 5 C6 5 15 5 15 25
1 1 1 1
( = 1) = 3 × C4C2 + 2 × C3C3 = 3 × 8 + 25 2 5 2 5 15 5 ×
9 = 14
C6 C6 15 25
，
2 2
( = 2) = 3 C2 2 C3 3 1 2 3 35 × C2 + 5 × 2 = 5 ×6 C6 15
+ 5 × 15 = 25，
的分布列为
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0 1 2
8 14 3
25 25 25
的数学期望 ( ) = 0 × 8 14 3 20 425 + 1 × 25 + 2 × 25 = 25 = 5．
16. (1) ( 1 5 3解： 当天商店不进货) = (当天商品销售量为 0 件) + (当天商品销售量为 1 件) = 20 + 20 = 10．
(2)由题意知， 的可能取值为 2，3．
( = 2) = ( 5 1当天商品销售量为 1 件) = 20 = 4；
( = 3) = ( 1当天商品销售量为 0 件) + (当天商品销售量为 2 件) + (当天商品销售量为 3 件) = 20 +
9
20 +
5
20 =
3
4．
所以 的概率分布列如下：
2 3
1 3
4 4
数学期望 ( ) = 2 × 14+ 3 ×
3 11
4 = 4
2 2
方差为 ( ) = 2 114 ×
1
4 + 3
11 3 3
4 × 4 = 16 .
17.解：(1)设女顾客满意的有 人，
5
因为从全部 105 人中随机抽取 1 人为满意的概率为7，
45+ 5
所以 105 = 7，解得 = 30，
于是可完成 2 × 2 列联表，如下所示：
满意 不满意 总计
45 10 55
男顾客
30 20 50
女顾客
75 30 105
总计
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(2) 2 = ( )
2 105(45×20 10×30)2
( + )( + )( + )( + ) = 55×50×75×30 ≈ 6.109 > 3.841，
结合表中数据易知，在犯错率不超过 5％的前提下认为满意度与性别有关系．
18.解：(1)依题意 的可能取值为 5、10，
且 ( = 5) = 1 ， ( = 10) = ，
所以 的分布列为：

5 10
1
所以 ( ) = 5(1 ) + 10 = 5 + 5 ．
(2)开空调时每日用电量：峰段 10 × 30％ = 3 度，谷段 10 × 40％ = 4 度，平段 10 × 30％ = 3 度，
则 = 3 × 0.6 + 4 × 0.4 + 3 × 0.5 = 4.9 元，
不开空调时每日用电量：峰段 5 × 60％ = 3 度，谷段 5 × 20％ = 1 度，平段 5 × 20％ = 1 度，
则 = 5 × 0.6 + 1 × 0.4 + 1 × 0.5 = 2.7 元，
所以 的分布列为：

2.7 4.9
1
则 ( ) = 2.7(1 ) + 4.9 = 2.7 + 2.2 ．
(3)分时电价总电费为 30(2.7 + 2.2 ) = 81 + 66 (元)，
30 天总用电量 30(5 + 5 ) = 150 + 150 度，
由 150 + 150 ≤ 180，解得 ≤ 0.2，
当 ≤ 0.2 时，阶梯电价总电费为 0.45(150 + 150 ) = 67.5(1 + )(元)，
当 > 0.2 时，阶梯电价总电费为 0.45 × 180 + 0.6 × (150 + 150 180) = 63 + 90 (元)，
所以当 ≤ 0.2 时，81 + 66 67.5(1 + ) = 13.5 1.5 ≤ 0，解得 ≥ 9，不成立；
当 > 0.2 时，81 + 66 63 90 = 18 24 ≤ 0 3，解得 ≥ 4，
3
综上， ∈ 4 , 1 时，下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用．
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19.解：(1)该电子模块导通即电子 1、4 必须导通且电子 2、3 至少要有一个导通，
所以 = 0.92 1 0.12 = 0.8019 ≈ 0.8．
(2)设 为原电子器件中导通的子模块的个数， (20, )，
则新电子器件正常工作即原电子器件中至少有 11 个电子模块导通；
或者原电子器件中恰有 10 个电子模块导通，且新加入的两个模块至少有一个导通；
或者原电子器件中恰有 9 个模块导通，且新加入的两个模块导通．
设事件 =“原电子器件中至少有 10 个电子模块导通”，
则 ( ) = ( ≥ 11) = ( ≥ 10) ( = 10)，
事件 =“原电子器件中恰有 10 个模块导通，且新加入的模块至少有一个模块导通”，
则 ( ) = ( = 10) 1 (1 )2 ；
事件 =“原电子器件恰有 9 个模块导通，且新加入的模块两个都导通”，
则 ( ) = ( = 9) 2，
则 (新电子器件正常工作) = ( ) + ( ) + ( )
= ( ≥ 10) ( = 10) + ( = 10) 1 (1 )2 + ( = 9) 2，
又∵ (原电子器件正常工作) = ( ≥ 10)，
∴ (新电子器件正常工作) (原电子器件正常工作)
= ( = 10) + ( = 10) 1 (1 )2 + ( = 9) 2
= ( = 10) (1 )2 + ( 9) 2
= C9 920 (1 )11 2 C10 1020 (1 )10(1 )2
= C920 11(1 )11 C10 10 1220 (1 ) = 10(1 )11 C920 C1020(1 )
= 10(1 )11 20! × 4 20! 1 10 11 20! 1 4 1 19!×11! 5 10!×10! × 5 = (1 ) 9!×10! 11 × 5 10 × 5 > 0，
所以再添加个电子模块，新电子器件较原电子器件正常工作的概率增大．
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