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2024-2025 学年天津市天华高级中学高一下学期第二次阶段性考试
数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 4i + = 3+ i，则 的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = (1, 1)， = ( 1,3)，则 2 + =( )
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
3.如图为 水平放置的直观图，其中 ′ ′ = ′ ′ = 1， ′ ′ = 3，那么原 的面积是( )2
A. 3 B. 2 3 C. 32 D. 2
4.设 的内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，已知 = 6， = 60°， = 45°，则 等于( )
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
5.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖.通常有圆形攒尖，三角攒尖，
四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒
2π
尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为 6 ，顶角为 3 的等腰三角形，则该屋顶的面积约为( )．
A. 3 3π 2 B. 6π 2 C. 6 3π 2 D. 12 3π 2
6.已知 , 为两个不同的平面， , , 为三条不同的直线，则下列结论中正确的是( )
A.若 // , // ，则 // B.若 // , , ，则 //
C.若 // ，且 ，则 // D.若 // , // ，且 , ，则 //
7.已知向量 1， 2是两个不共线的向量， = 2 1 2与 = 1 + 2共线，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 12 D.
1
2
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8.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = cos + cos ，tan = 3，则 是( )
A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
9.底面边长为 4 2的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2 2，高为 3 的正四棱锥，
所得棱台的体积为( )
A. 28 B. 58 C. 56 D. 28 2
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10 3 4i. 是虚数单位，化简 2 i的结果为 ．
11.某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层
抽样方法抽取一个容量为 100 的样本，应抽取中型超市 家．
12.已知 = 2, = 3, 1 ，且 ⊥ ，则 2 = ．
13.在正方体 1 1 1 1中， = 2 3，则该正方体外接球的表面积为 ．
14.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为 1， ， 1的中点，则 1 与
所成的角的余弦值为 ．
15.如图，在 中，∠ = 3， = 2 ， 为
1
上一点，且满足 = + 3 ， = ；若
的面积为 2 3，则 的最小值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
已知 i 是虚数单位，复数 = 2 3 + 2 5 + 6 i， ∈ ．
(1)当 = 1 时，求| |；
(2)若 是纯虚数，求 的值；
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(3)若 在复平面内对应的点位于第二象限，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
2
在 的内角 ， ， 所对边的长分别是 ， ， ，已知 = 2， = 2，cos = 4 ．
(1)求 的值；
(2)求 sin 的值；
(3)求 cos(2 + 3 )的值．
18.(本小题 15 分)
已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 = (cos , sin )， = ( , 3 )，且 // ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 7， = 2，求边 和 的面积．
19.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1， 1 1均为正方形， = = 1，∠ = 90°，点
是棱的 1 1中点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求 1到平面 1 1的距离．
20.(本小题 15 分)
如图，在四面体 中， 是等边三角形，平面 ⊥平面 ，点 为棱 的中点， = 2， = 2 3，
∠ = 90°．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.2 i/ i + 2
11.20
12.2 5
13.36
14. 155 /
1
5 15
15.12 ；2
16.(1)当 = 1 时， = 2 + 2i，所以| | = ( 2)2 + 22 = 2 2．
2 = 0 或 = 3(2)若复数是纯虚数，则 3 = 02 ，解得 ，所以 = 0． 5 + 6 ≠ 0 ≠ 2 且 ≠ 3
2 0 < < 3
(3)复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限，则 3 < 02 ，即 < 2 > 3 , 5 + 6 > 0 或
所以，实数 的取值范围是 0 < < 2．
2 2 2
17.(1) + 因为 cos = 2 ，
且 = 2， = 2，cos = 24
所以 = 1；
(2)因为 cos = 2 2 24 ，且sin + cos = 1， ∈ (0, )
所以 sin > 0, sin = 1 cos2 = 144
又 : sin = : sin ，
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解得 sin = 74 ；
(3)因为 cos2 = 2cos2 1 = 34，
sin2 = 2sin cos = 74 ，
所以 cos(2 + 3 ) = cos2 cos

3 sin2 sin

3 =
21 3
8
18.(1)因为 = (cos , sin )， = ( , 3 )，且 // ，
所以 3 cos sin = 0，由正弦定理可得 3sin cos sin sin = 0，
因为 ， 为 的内角，所以 , ∈ (0, )，
因此 3sin cos sin sin = 0 可化为 3cos = sin ，即 tan = 3，所以 = 3；
(2)因为 = 7， = 2， = 3，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，即 7 = 4 + 2 2 ，即 2 2 3 = 0，
解得 = 3 或 = 1(舍)，
所以 1 3 3的面积为 = 2 sin = 2 ．
19.(1)
取 1 与 1的交点为 ，连接 ，
由侧面 1 1均为正方形，可得 = 1，又因为点 是棱的 1 1中点，
所以 // 1，又因为 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1//平面 1 ；
(2)
因为侧面 1 1， 1 1均为正方形， = = 1，∠ = 90°，
所以 = 1 1 = 2， 1 = 1 = 2，又因为点 是棱的 1 1中点，
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2 2
所以 ⊥ 1 1，即可得 = 2
2 = 62 2 ，
1 6 3
所以 1 1 = 2 × 2 × 2 = 2 ，
1 1 1
又因为 1 1 1 = 3 × 2 × 1 × 1 × 1 = 6，
设点 1到平面 1 1的距离为 ，则根据等体积公式可得，
1 3 1 3 1 1 1 = 1 1 1 = 3 × 2 × = 6 .解得 = 3 ，
故 31到平面 1 1的距离为 3 ．
20.(1)如图，连接 ，因为 为 的中点， 是等边三角形，
所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 CM ⊥平面 ．
(2)由(1)， ⊥平面 ，则∠ 是直线 与平面 所成角，
又∠ = 90o，且 = 1， = 2 3，
∴ = 13，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
所以 为直角三角形，∠ 为直角，
在 Rt 中， = 3， = 13，则 = 4，
所以 sin∠ = = 3 4 ，
3
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 4 ．
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