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2024-2025 学年四川省德阳市博雅明德高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若一个扇形的弧长为 4，面积为 16，则这个扇形圆心角的弧度数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 12
2.已知角 的终边经过点( 2, 1)，则 sin =( )
A. 6 6 3 33 B. 3 C. 3 D. 3
3.关于平面向量，下列说法正确的是( )
A.零向量没有方向
B.若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
C.起点相同的单位向量，终点必相同
D.向量的模是一个正实数
4.若函数 ( ) = cos 2 + π12 ( > 0)
1
的最小正周期为3，则 =( )
A. 1 B. 3 C. π3 3 D. 3π
5.在 π中，“ > 3”是“sin >
3
2 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在 所在平面内，点 满足 = 3 ，记 = ， = ，则 =( )
A. 1 + 2 B. 2 + 1 1 4 43 3 3 3 C. 3 + 3 D. 3
1 3
7.已知有如下命题：
5π
①把 4 化成角度是 225°；
②若扇形的面积为 2cm2，扇形圆心角 的弧度数是 4，则扇形的周长为 6cm；

③设 是第一象限的角，则2所在的象限为第一象限；
④2rad 角是第二象限角；
其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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8.已知 0 < < π2 , 0 < <
π 3
2，且 cos( + ) = 5 , sin( ) =
5
13，则 tan2 =( )
A. 5633 B.
33 56 33
65 C. 65 D. 56
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下图是函数 = sin( + )的部分图像，则 sin( + ) = ( )
A. sin( + π π3 ) B. sin( 3 2 ) C. cos(2 +
π
6 ) D. cos(
5π
6 2 )
10.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A.设 , 为非零向量，若 + = ，则 ⊥
B.若 = 2 ，则 = 2 或 = 2
C.设 , , 为非零向量，则( ) = ( )
D.若点 为 的重心，则 + + = 0
11 π π.若将函数 ( ) = cos 2 + 12 的图象向左平移8个单位长度，得到函数 ( )的图象，则下列说法正确的
是( )
A. ( )的最小正周期为π B. ( )在区间 0, π2 上单调递减
C. = π π π3是函数 ( )的对称轴 D. ( )在 6 , 6 上的最小值为
1
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
→ →
12.已知 = 6， = 4， 与 夹角为 60°，与 同向的单位向量为 ， 在 方向上的投影向量为 ，则
的值为 ．
13.若函数 ( ) = sin( + ) + cos 的最大值为 2，则常数 的一个取值为 ．
14.下面四个命题，
(1)函数 = tan 在第一象限是增函数；
(2)在 中，“ > ”是“sin > sin ”的充分非必要条件；
(3) 函数 = cos(2 + )图像关于点( 6 , 0)对称的充要条件是 = + 6 ( ∈ )；
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(4)若 ∈ [ 3 2 , 4 ]，则 1 + sin2 1 sin2 = 2sin ．
其中真命题的是 . (填所有真命题的序号)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知| | = 4，| | = 8， 与 的夹角是 120°．
(1)计算 ；
(2)计算|4 2 |；
16.(本小题 15 分)
4
已知 , 为锐角，sin = 5 , cos( + ) =
5
5 ．
(1)求 cos2 的值；
(2)求 sin 的值．
17.(本小题 15 分)
→ → → → → → →
设 1, 2是两个不共线的向量，已知 = 2 1 8 2, = 1+ 3 2, = 2 1 2．
(1)求证： , , 三点共线；
(2)若 = 3 1 2且 ，求实数 的值．
18.(本小题 17 分)
一半径为 2 米的水轮如图所示，水轮圆心 距离水面 1 米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每 3 秒转一圈，
如果当水轮上点 从水中浮现时(图中点 0)开始计算时间．
(1)以水轮所在平面与水面的交线为 轴，以过点 且与水面垂直的直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，
试将点 距离水面的高度 (单位：米)表示为时间 (单位：秒)的函数；
(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点 距水面的高度超过 2 米？
19.(本小题 17 分)
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设函数 ( ) = 3sin cos cos2 12．
(1)求 ( )的最小正周期，单调增区间，对称中心；
(2)当 ∈ 0, π2 时，求函数 ( )的最大值和最小值；
(3)若函数 ( )在[ , 0]上有两个零点，请直接写出的 取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 2 (2 +

2 , ∈ 均可)
14.(3)
15.(1)由| | = 4, | | = 8， 1与 的夹角是120 ， = | || |cos120 = 4 × 8 × ( 2 ) = 16，
即 = 16．
(2)由(1)知， = 16，
→ → → → → → → →
所以|4 2 | = (4 2 )2 = 16 2 16 + 4 2
= 16 × 16 16 × ( 16) + 4 × 64 = 16 3．
16.(1) 4 32 7因为 sin = 5，所以 cos2 = 1 2sin
2 = 1 25 = 25；
(2) 因为 , 为锐角，所以 0 < + < ，0 < < 2，
2
又 sin = 45 , cos( + ) =
5
5 ，所以 cos = 1
4 = 35 5，
2
sin( + ) = 1 5 2 55 = 5 ，
所以 sin = sin ( + ) = sin( + )cos cos( + )sin
= 2 5 × 3+ 5 4 2 55 5 5 × 5 = 5 ．
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17. → → → → → →(1)由已知，得 = = 2 1 2 1+ 3 2 = 1 4 2，
→ →
因为 = 2 1 8 2，
所以 = 2 ，又 与 有公共点 ，
所以 , , 三点共线．
(2)由(1) ，知 → → → → = 4 ，若 ，且 ，1 2 = 3 1 2
可设 = ( ∈ )，
所以 3 1 2 = 1 4 2 ，
即(3 ) 1 = ( 4 ) 2．
→ →
, 3 = 0又 1 2是两个不共线的向量，所以 4 = 0 ,
解得 = 12．
18.(1)设水轮上圆心 正右侧点为 ， 轴与水面交点为 ，如图所示：
设 = sin( + ) + ，由 = 1， = 2，可得∠ 0 =

3，所以∠ 0 =

6．
∴ = 2， = 1， = 6，

由题意可知，函数 = 2sin 6 + 1 = 3 ∴ =
2 2
的最小正周期为 ， = 3，
所以点 2 距离水面的高度 关于时间 的函数为 = 2sin 3 6 + 1( ≥ 0)；
(2) 2 2 1由 = 2sin 3 6 + 1 > 2，得 sin 3 6 > 2，
∈ [0,3] 2 11 令 ，则 3 6 ∈ 6 , 6 ，
< 2 < 5 1 < < 3 3 1由6 3 6 6，解得2 2，又2 2 = 1，
所以在水轮转动的任意一圈内，有 1 时间点 距水面的高度超过 2 米.
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19.(1) ( ) = 3sin cos cos2 1 = 3 sin2 1+cos2 12 2 2 2
= 3 12 sin2 2 cos2 1 = sin 2
π
6 1，
2π
则最小正周期 = 2 = π，
π+ 2 π ≤ 2 π π π令 2 6 ≤ 2 + 2 π, ∈ Z，得 6 + π ≤ ≤
π
3 + π, ∈ Z，
则 ( ) π的单调递增区间为 6 + π,
π
3 + π , ∈ Z，
π
令 2 6 = π, ∈ Z，得 =
π π
12+ 2 , ∈ Z，
π π
则 ( )的对称中心为 12 + 2 , 1 , ∈ Z．
(2) ∈ 0, π π π 5π π 12 ，则 2 6 ∈ 6 , 6 ，则 sin 2 6 ∈ 2 , 1 ，
则 ( ) ∈ 32 , 0 ，
故当 2 π6 =
π 3
6，即 = 0 时， ( )取最小值 2；
π
当 = 3，即 = 0 时， ( )取最大值 0．
(3)函数 ( ) π在[ , 0]上有两个零点，则 sin 2 6 = 1 在[ , 0]上有两个根，
π
又 ∈ [ ,0]，则 2 6 ∈ 2
π π
6 , 6 ，
11π
结合正弦函数图象可得， 2 < 2
π ≤ 7π 5π6 2 ，得 3 ≤ <
8π
3 ，
5π 8π
则 取值范围为 3 , 3
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