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2024-2025 学年云南民族大学附属高级中学高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = 1,2,3,4,5,6 ， = 2 < 8 ，则 ∩ R =( )
A. 1,2,3 B. 2,3,4,5 C. 4,5,6 D. 3,4,5,6
2.在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了 6 名同学的第一个解答题的得分情况如下：7，10，5，
8，4，2，则这组数据的平均数和 30％分位数分别为( )
A. 6，3 B. 5，3 C. 5，4 D. 6，4
3 3.已知 i = 2 + i，其中 i 为虚数单位， 是 的共轭复数，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 8
4.函数 ( ) = 3sin2 4cos2 的最小正周期是( )
A. π B. 3π C. 2π D. 4π
5.设 , 为两条不同的直线， , 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A.若 // , // ，则 // B.若 // , // ，则 //
C.若 // , ，则 // D.若 ⊥ , ⊥ ，则 //
6.已知向量 = (1,2)， = ( 2,1)，则 cos , + =( )
A. 2 25 B.
2 5 2
4 C. 5 D. 2
7.已知定义在 上的函数 ( ) = 3∣ 1∣与函数 ( ) = cos(1 )的图象有唯一公共点，则实数 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
8.如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止他们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形
状可看作上下均无底盖的圆台形物体.某个伊丽莎白圈的上底面直径为 4 分米，下底面直径为 2 分米，母线
长为 3 分米，若要在伊丽莎白圈与宠物接触的一面进行涂层，每平方分米需要消耗 5 克涂层材料，不考虑
伊丽莎白圈的厚度与连接处，则制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料( )
A. 45π克 B. 90π克 C. 110π克 D. 120π克
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列给出的命题正确的是( )
A.若 , , 为空间的一组基底，则 + , + , 也是空间的一组基底
B.点 为平面 1上的一点，且 = 3
+ + ( , ∈ ) 2，则 + = 3
C.若直线 的方向向量为 = (1,1,0)，平面 的法向量 = ( 1,1,1)，则 // 或
D.两个不重合的平面 , 的法向量分别是 = ( 1,1,1)， = (1,1,0)，则 ⊥
10.锐角三角形 中，角 , , 所对的边分别是 , , ，已知 sin π6 = cos ， = 2， = 3，则( )
A. = π3 B. = 2 + 3
C. sin = 3 D. 3 2+ 36 的面积为 2
11.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， , , 分别是 1, 1, 1 1的中点， 是线段 1 1
上的动点，则( )．
A.存在点 ，使 //平面
B.不存在点 ，使 , , , 四点共面
C.三棱锥 的体积是定值
D.经过 , , , 四点的球的表面积为 10π
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = log 5,8 = 5 2 ，则 = ．
13.在四棱锥 中， ⊥平面 ，四边形 为平行四边形，∠ = 60°且 = = = 4，
为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．
14. 内一点 (见图 1)，式子 + + 可以写成 1 × + 1 × + 1 × ，这个式子中 、 、
的系数均为 1，以三个系数 1 作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把 绕点 顺时针旋转
π
3，得到
′ ′ (见图 2)，所以 + + 等于 ′ ′ + ′ + ，显然 ′ ′ + ′ + ≥ ′ ，
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当 ′、 ′、 、 四点共线时(见图 3)， + + 最小．
试用类似的方法解决下面这道题目：
已知 是平面内的任意一个向量，向量 、 满足 = 0，且 = 4， = 4，则 2 + + +
的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
有 900 名学生参加“环保知识竞赛”，为考察竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均整数，满分
为 100 分)进行统计，请你根据尚未完成并有局部污损的频率分面表和频率分布直方图(如图)解释下列问题．
分组 频数 频率
50.5 60.5 4 0.08
60.5 70.5 0.16
70.5 80.5 10
80.5 90.5 16 0.32
90.5 100.5
合计 50
(1)填满频率分布表；
(2)补全频率分布直方图；
(3)若成绩在 75.5 85.5 的学生可以获得二等奖，求获得二等奖的学生人数．
16.(本小题 15 分)
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如图，在 中， = 3， = 2，∠ = 60°，点 在边 的延长线上．
(1)求 sin∠ ；
(2)若 = 2 2， = 2 3
，求 的长．
17.(本小题 15 分)
+ + +
已知函数 ( ) = 2 3sin cos 22 2 + 2sin 2 1 > 0,0 < < π 为奇函数，且 ( )图象的
π
相邻两对称轴间的距离为2．
(1)求 ( )的解析式与单调递减区间；
(2) π 1将函数 ( )的图象向右平移6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的2 (纵坐标不变)，得到函数 = ( )
π
的图象，当 ∈ 0, 2 时，求方程 2
2( ) + 3 ( ) 3 = 0 的所有根的和．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，侧面 ⊥平面 ， 是边长为 2 的等边三角形，底面 为直角
梯形，其中 // ， ⊥ ， = = 1， 为线段 中点，连接 ．
(1)证明： //平面 ；
(2)求 到平面 的距离；
(3) 15 线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 5 ？若存在，求出 的值；若不存
在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
如图，设 ∈ 0, π ，且 ≠ π2，当∠ = 时，定义平面坐标系为 的斜坐标系．在 的斜坐标系中，任意
一点 的斜坐标这样定义：设 1， 2分别为 ， 正方向同向的单位向量，若向量 = 1 + 2，记向量
= ( , ).在 = π3的斜坐标系中．
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(1)若向量 = (3,2)，求 ．
(2)已知向量 = 1, 1 ， = 2,
1
2 ，证明： = 1 2 + 1 2 + 2 1 2 + 2 1 ．
(3)若向量 ， 的斜坐标分别为 sin2 , 3cos2 和(1, 1)， ∈ ，设函数 ( ) = ， ( ) = + ，
( ) = ln + π + π8 6 ．
①证明： ( )有且只有一个零点 0．
π 5
②比较 sin 4 0 与2的大小，并说明理由．(参考数据： = 2.71828 ，ln2 = 0.69314 )
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 105
14.8 2
15.(1) 10 12因为 50 × 0.16 = 8，50 = 0.2，50 (4 + 8 + 10 + 16) = 12，50 = 0.24，且所有频率和为 1，
据此填满频率分布表，如下表所示：
分组 频数 频率
50.5 60.5 4 0.08
60.5 70.5 8 0.16
70.5 80.5 10 0.2
80.5 90.5 16 0.32
90.5 100.5 12 0.24
合计 50 1
(2)根据(1)中数据可得频率分布直方图，如图所示：
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(3)由题意可知：成绩在 75.5 85.5 0.2+0.32频率为 2 = 0.26，
估计获得二等奖的学生人数为 900 × 0.26 = 234．
16.(1) 3 2 2中，由正弦定理sin∠ = sin sin60° = sin sin = 2 ，
因为 > ， ∈ 0, π ，所以∠ = 45°，
所以∠ = 180° 45° 60° = 75°，
则 sin∠ = sin(45° + 60°) = sin45°cos60° + cos45°sin60°
= 2 × 1 + 2 3 6+ 22 2 2 × 2 = 4 ．
(2) 1 2方法 ：因为 = 3
，所以 = + = + 2 3 =
+ 2 3 =
1 + 2 3 3 ，
所以
2
= 1
2 2
+ 4 + 2 9
2 = 19 2 + 4 × 8 + 2 × 2 × 4 2cos120° =
26
9，
则 = 263 ．
方法 2：在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠
= 2 + 8 2 2 2 2 2 cos120° = 14 = 14，
14
因为 为线段 上靠近 的三等分点，所以 = 3 ．
2 14 3
因为sin = sin∠ sin = sin120°，所以 sin = 2 7，
因为 为锐角，所以 cos = 1 sin2 = 1 3 = 528 2 7，
在 中，由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos = 8 + 149 2 × 2 2 ×
14 × 5 263 2 7 = 9，
所以 = 263 ．
17.(1) ( ) = 3sin( + ) + 2sin2 + 2 1 = 3sin( + ) cos( + ) = 2sin +
π
6 ，
∵ ( ) π图象的相邻两对称轴间的距离为2，
∴ ( )的最小正周期为 = π，即可得 = 2，.
又 ( ) π为奇函数，则 6 = , ∈ ，
又 0 < < π，∴ = π6，故 ( ) = 2sin2 ，
π
令2 + 2 π ≤ 2 ≤
3π
2 + 2 π
π 3π
， ∈ ，得4 + π ≤ ≤ 4 + π， ∈ ．
∴ π 3π函数 ( )的递减区间为 4 + π, 4 + π ， ∈ ．
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(2) π π将函数 ( )的图象向右平移6个单位长度，可得 = 2sin 2 3 的图象，
1
再把横坐标缩小为原来的2，得到函数 = ( ) = 2sin 4
π
3 的图象，
又 2 2( ) + 3 ( ) 3 = 0，则 ( ) = 3 3或 ( ) = 2 ，
即 sin 4 π = 3 sin 4 π 33 2 或 3 = 4 ．
令 = 4 π ∈ 0, π3，当 2 时， = 4
π ∈ π 5π3 3 , 3 ，
画出 = sin 的图象如图所示：
sin = 3有两个根 1，
π
2，关于 =4 2对称，
即 1 + 2 = π，
sin = 32 ，则 3 =
π = 4π 5π3， 4 3 ， 5 = 3，
sin 4 π 3 π3 = 4 在 0, 2 上有两个不同的根 1， 2，4 1
π π
3 + 4 2 3 = π，
∴ 5π1 + 2 = 12；
又 sin 4 π3 =
3 5π π
2 的根为 0，12，2，
所以方程 2 2( ) + 3 ( ) 3 = 0 在 ∈ 0, π 4π2 内所有根的和为 3 ．
18.(1)在四棱锥 中，取 中点 ，连接 ，
由 为 的中点，且 = 2， = 1，得 // // ， = 12 = 1 = ，
则四边形 为平行四边形， // ，而 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)取 的中点 ，连接 ， ，由 为等边三角形，得 ⊥ ，
而平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
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则 ⊥平面 ，由 = = 1, // ，得四边形 是平行四边形，
于是 // ，而 ⊥ ，则 ⊥ ，直线 , , 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 , , 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 (0, 1,0), (0,1,0), (1,0,0), (1, 1,0), (0,0, 3)， = ( 1,0, 3), = ( 1,1,0)，

设平面 的法向量为 = ( , , ) = + 3 = 0，则 ,
= + = 0
取 = 1，得 = ( 3, 3, 1)，

又 = (0,1,0)，所以 | | 3 21到平面 的距离 = | | = 7 = 7 ，
21
因为 //平面 ，所以 到平面 的距离为 到平面 的距离，即 7 ．
(3)令 = = (0, , 3 ), ∈ [0,1]，
= + = (0,1, 3) + (0, , 3 ) = (0,1 + , 3 3 )， = (1,1,0)，

设平面 的法向量为 = ( , , ) = + = 0，则 ,
= (1 + ) + ( 3 3 ) = 0
取 = 3( 1)，得 = ( 3(1 ), 3( 1), + 1)，
平面 的法向量为 = (0,0, 3)，

cos

, = = 3( +1) = 15于是

，
3 7 2 10 +7 5
化简得 2 2 5 + 2 = 0 ∈ [0,1] 1 1，又 ，解得 = 2，即 = 2，
15 1
所以线段 上存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 5 ， = 2．
19.(1)因为向量 = (3,2)，所以 = 3 1 + 2 2，又因为 1 2 =
1 2 2
2， 1 = 2 = 1，
2 2
所以 = 3 1 + 2 2 2 = 9 1 + 12 1 2 + 4
2
2 = 13 + 6 = 19，
所以 = 19．
(2)因为向量 = 1, 1 ， = 2, 2 ，所以 = 1 1 + 1 2， = 2 1+ 2 2，
所以 = 1 1 + 1 2 2 1+ 2 2 =
2
1 2 1 + 1 2 + 2 1 1 2 +
2
1 2 2
化简得 = 1 +
1
2 1 2 + 2 1 2 + 2 1 ．
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(3)①由(2)得 ( ) = = sin2 3cos2 = 12 3cos2 sin2 ，
π
化简得 ( ) = sin 2 3 ，
所以 ( ) = ln + sin 2 π + π π8 6 3 = ln + sin
π
4 ( > 0)，
当 ∈ (0,2) 1 π时， ( )单调递增，因为 2 = ln2 + sin 8，
又因为 sin π8 < sin
π 1 1 1
6 = 2，ln2 = 2 ln4 > 2 lne =
1 1
2，所以 2 < 0，
又因为 (1) = 22 > 0，所以
1
2 (1) < 0，
1
由零点存在定理可得，存在 0 ∈ 2 , 1 ，使得 0 = 0，
所以 ( )在(0,2)上有一个零点．
当 ∈ [2,4)时，ln ≥ ln2 > 0，sin π4 > 0，所以 ( ) > 0，
故 ( )在[2,4)上没有零点．
当 ∈ [4, + ∞)时，ln ≥ ln4 > 1，sin π4 ∈ [ 1,1]，
所以 ( ) > 0，故 ( )在[4, + ∞)上没有零点．
综上可得， ( )有且只有一个零点 0．
sin π < 5② 4 0 2．
π
理由如下： sin = ln = ln 0 0 0 ln 0
1 1
4 + = + 0在 0 ∈ 2 , 1 上单调递减，0
1 5 π 5 π 5
所以 + 0 ∈ 2, 2 ，即 sin 4 0 ∈ 2, 2 ，所以 sin 4 0 <0 2
．
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