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2024-2025 学年广东省惠来县第一中学高二下学期第二次阶段考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 2 ∈ {1,0, }，则实数 的值为( )
A. 0 B. 1 C. 1 D. ±1
2.已知 = 1 + i2025( 为虚数单位)，则 =( )
A. 1+ B. 1 C. 1 + D. 1
3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某
中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的
学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有
60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
4.在四棱锥 中， = (2,3, 1)， = ( 2,0,1)， = (3, 1, 2)，则该四棱锥的高为( )
A. 2 53 B.
2
3 C.
1
2 D.
5
5
5.小明和小红去看《哪吒 2》，小明想坐第六排，小红想坐第五排，买票时发现第六排还有 5 个位置，第
五排还有 9 个位置，请问他们看电影的座位有( )种不同选法．
A. 14 B. 30 C. 45 D. 54
2 26 .某研究性学习小组发现，由双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的两渐近线所成的角可求离心率 的大小，
5
联想到反比例函数 = ( ≠ 0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线 = 的离心率为( )
A. 2 B. 2 C. 5 D. 5
7.已知函数 ( ) = sin + cos ( ∈ )，若 = 0是函数 ( )的一条对称轴，且 tan 0 = 2，则( , )所在
的直线为( )
A. 2 = 0 B. + 2 = 0 C. 2 = 0 D. 2 + = 0
( )
8.人工智能领域让贝叶斯公式： = ( ) 站在了世界中心位置， 换脸是一项深度伪造技术，
某视频网站利用该技术掺入了一些“ ”视频，“ ”视频占有率为 0.001.某团队决定用 对抗“ ”，
研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是 0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有
96％的可能鉴定为“ ”；该鉴伪技术的误报率是 0.02，即在该视频是真实的情况下，它有 2％的可能鉴
定为“ ”.已知某个视频被鉴定为“ ”，则该视频是“ ”合成的可能性约为( )
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A. 6％ B. 4.6％ C. 2.4％ D. 0.1％
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆 ，一个酒鬼家住在 ，其相对位置关系如图所示.小镇的
环形道路可以视为 8 段小路，每段小路需要步行 3 分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，
所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是( )
A. 1若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在 10 分钟或 10 分钟以内到家的概率为8
B. 1若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在 15 分钟或 15 分钟以内到家的概率为4
C. 5若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行 15 分钟后恰好停在家门口的概率为32
D. 7若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行 21 分钟后恰好停在家门口的概率为32
10.已知圆 : ( + 2)2 + 2 = 4，直线 : ( + 1) + 2 1 + = 0( ∈ )，则( )
A.直线 恒过定点( 1,1)
B.当 = 0 时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 1
C.直线 与圆 可能相切
D.若圆 与圆 2 + 2 2 + 8 + = 0 恰有三条公切线，则 = 8
11.若函数 ( )是定义在(0, + ∞)上不恒为零的可导函数，对任意的 , ∈ R+均满足： ( ) = ( ) + ( )，
(2) = 2，记 ( ) = ′( )，则( )
A. (1) = 0 B. ( )是偶函数
C. (4 ) 2 = 3 D.
2025
=1 2 = 2024 × 2
2026 + 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 (1,2)，则 ( ) = ．
10
13.已知 + 1 2 ( > 0)的展开式的各项系数之和为 1024，则展开式中有理项共有 项．
14.“三门问题”( )亦称为蒙提霍尔问题 蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十
年代美国的电视游戏节目 ′ .问题名字来自该节目的主持人蒙提 霍尔( ).参赛者
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会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门
后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中
一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会
增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 (填“会”或者“不会”).换门的话，
赢得跑车的概率是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列 的前 项和为 ，且 2 = 4， 2 = 7．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 = 2 ，求 的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
2
一个袋子中有 4 个红球， 个绿球，已知取出的 2 个球都是红球的概率为15．
(1)求 的值：
(2)从中依次随机地摸出 4 个球作为样本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为
, ．
( )求 的数学期望和方差；
( )分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球的比例估计总体中绿球的比例，求误差的绝对值不超过
0.2 的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际含义．
17.(本小题 15 分)
如图，在 中，点 在边 上，且 = 2 ， 为边 的中点． 是平面 外的一点，且有 +
= + 2 = 0．
(1)证明： ⊥ ；
(2) 2 2已知 = 1， = 6， = 3，直线 与平面 所成角的正弦值为 3 ．
( )求 的面积；
( )求三棱锥 的体积．
18.(本小题 17 分)
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已知函数 ( ) = ln + + 2，满足 ′(1) = 2．
(1)求实数 的值；
(2)求 ( )的单调区间和极值．
(3)方程 ( ) = + 2 无实数根，求实数 的范围．
19.(本小题 17 分)
若随机变量 ， 均为定义在同一样本空间 上的离散型随机变量，则将( , )称为二维离散型随机变量，将
( , )取值为 , 的概率记作 = , = ，其中 , = 1,2, , ．
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得 1 分，不进球得 1 分，分数
1
高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为2，抽中签者点球，
进球得 1 分，不进球得 1 分；未抽中者不点球，得 0 分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球
1 2
的概率分别为2，3，且每次点球之间相互独立.记甲得分为 ，乙得分为 ．
(1)求 ( = 1, = 0)， ( = 2, = 1)；
(2)求 = 0 = 1 ；
(3)已知随机事件 = 1 发生了，求随机变量 的分布列与数学期望．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.6
14. 2会； 3
15.(1)设公差为 ，
由题意可得 + = 4 2 + 2×11 ， 1 2 = 7，
解得： 1 = 3， = 1
所以 = + 2
(2)由(1)可得 = 2 = 2 +2
则 是首项 1 = 8，公比为 2 的等比数列
8 1 2
则 = 1 2 = 8 2 1
2
16.(1) C由题可得 4 = 6 2
C2 ( +4)( +3)
= 15 , ∈ ， +4 2
即 2 + 7 78 = 0，解得： = 6．
(2)( ) 3 3对于有放回摸球，每次摸到绿球的概率为5，且每次试验之间的结果是独立的，则 4, 5 , ( ) =
4 × 3 = 125 5 , ( ) = 4 ×
3 3 24
5 × 1 5 = 25
( ) 样本中绿球的比例分别为4 , 4，
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有放回摸球时，概率 1 = 4 0.6 ≤ 0.2 = ( = 2) + ( = 3)
2 2 3 2 2 1 3 32 216 216 432= C4 × 5 × 5 + C
3
4 × 5 × 5 = 625 + 625 = 625 ,
不放回摸球时，
C2C2 3 1
概率 2 = 4 0.6 ≤ 0.2 = ( = 2) + ( = 3) =
6 4
4 +
C6C4
4 =
3 + 87 21 =
17 .
C10 C10 21
所以 1 < 2，在误差不超过 0.2 的相同限制下，用样本中绿球比例估计总体中绿球比例，采用不放回估计
的结果更可靠些．
17.(1)因为 为边 的中点，所以 + = 2 ．
又 + = 0，即 2 = 0，即 ⊥ ．
= =
1 1 1
+ 2
= 2 + 3

= 1 + 1 12 3 3
= 16
+ 1 3 ，
所以 6 = + 2 ．
又因为 + 2 = 0，所以 6 = 0，即 ⊥ ．
因为 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
2 2 2
(2)( ) + 1+9 6 2由余弦定理可得 cos∠ = 2 = 2×1×3 = 3，
sin∠ = 1 2
2 5
所以 3 = 3 ，
所以 =
1
2 × 1 × 3 ×
5 = 53 2 ．
( )由(1)可知， ⊥平面 ，
所以∠ 即为 与平面 所成角．
2
因为 sin∠ = 2 23 ，所以 cos∠ = 1
2 2 1
3 = 3，tan∠ = 2 2，

所以 = 2 2，得 = 2 2 = 2 2 × 6 = 4 3．
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设 到平面 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，
= 1 1 1则 3 = 3 × 2 ×
2
3
1
2
= 1 × 13 3 ×
1 1
2 = 3 =
1
3 ．
因为 1 5 2 15 = = 3 × 2 × 4 3 = 3 ，
1 2 15
又 = 3 ，所以 = 3 = 3 × 3 = 2 15．
18.(1)因为 ( ) = ln + + 2，
所以 ′( ) = ln + 1 + ，又 ′(1) = ln1 + 1 + = 2，解得 = 3；
(2)由(1) ( ) = ln 3 + 2 定义域为(0, + ∞)，且 ′( ) = ln 2 为增函数．
令 ′( ) = 0 可得 = e2，
故当 0 < < e2时， ′( ) < 0，即 ( )在 0, e2 单调递减；
当 > e2时， ′( ) > 0，即 ( )在 e2, + ∞ 单调递增．
故 ( )在 = e2处有极小值 e2 = e2lne2 3e2 + 2 = 2 e2，无极大值．
综上可得 ( )单调递减区间为 0, e2 ，单调递增区间为 e2, + ∞ ，极小值为 2 e2，无极大值．
(3)由(2)可得 ( )在 0, e2 单调递减，在 e2, + ∞ 单调递增，
在 = e2处有极小值 2 e2，即 ( )min = 2 e2，
且当 →+∞时 ( ) →+∞，
因为方程 ( ) = + 2 无实数根，
所以 = ( )与 = + 2 无交点，
所以 + 2 < 2 e2，即 < e2，所以实数 的取值范围为 ∞, e2 ．
19.(1)由题意有 = 1, = 0 的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，
( = 1, = 0) = 1 × 2 × 1 × 1 2所以 2 3 2 3 =
1
18，
因为 = 2, = 1 是不可能事件，
所以 ( = 2, = 1) = 0；
(2) = 1 表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，
1 2 1 2 1 1
所以 ( = 1) = 2 × 1 3 + 2 × 3 × 2 = 3，
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1
所以 = 0 = 1 = ( =1, =0) 18 1 ( =1) = 1 = 6；
3
(3) = 1 表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，
( = 1) = 1 1 × 2 + 1 1 × 1 2 × 1 5所以 2 3 2 3 2 = 12，
又 的可能取值为 2,0,1，
所以 ( = 1, = 2) = 1 1 2 1 2 12 × 1 3 × 2 × 1 3 = 36，
1
= 2 = 1 = ( = 1, =0) ( = 1) =
36
5 =
1
15，
12
( = 1, = 0) = 1 1 2 1 2 12 × 1 3 × 2 × 3 = 18，
1
= 0 = 1 = ( = 1, =0) 18 2所以 ( = 1) = 5 = 15，
12
( = 1, = 1) = 1 1 2 12 × 3 = 3，
1
= 1 = 1 = ( = 1, =1) 3 4 ( = 1) = 5 = 5，
12
所以 的分布列为
2 0 1
1 2 4
15 15 5
( ) = 2 × 1所以 15 + 0 ×
2 4 2
15 + 1 × 5 = 3
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