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福建省安溪第八中学
2025年春季高一年下学期第二次质量检测数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．复数在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知△的内角，，的对边分别为，，，且，则　　
A． B． C． D．
4．已知点，，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为　　
A． B． C． D．
5．直三棱柱内，，，，则它的外接球的表面积是　　
A． B． C． D．
6．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良““善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台，下列说法错误的是　　
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．轴截面面积为
7．如图，圆锥的高，侧面积，，是底面圆上的两个动点，则△面积的最大值为　　
A． B．2 C．1 D．
8．已知与是平面内两个非零向量，，，，点是平分线上的动点．当取最小值时，的值为　　
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，，满足，，则　　
A．
B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．的虚部为
D．的共轭复数为
10．平面垂直于平面，且，下列命题正确的是　　
A．平面内一定存在直线平行于平面
B．平面内已知直线必垂直于平面内无数条直线
C．平面内任一条直线必垂直于平面
D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面
11．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是　　
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为9
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
第II卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 　　．
13．在△中，角，，的对边分别是，，，若，且，则△的面积最大值是　　 ．
14．如图，已知正方形的边长为2．圆弧是以为直径的半圆弧．当为圆弧的中点时，与的夹角为 　　 ；当为圆弧上的动点时，的最小值为 　　 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知向量，且与的夹角为．
（1）求及；
（2）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
16．（本小题满分15分）
△的内角，，的对边分别为，，，已知，△的面积为．
（1）求角的大小；
（2）若，求△的周长．
17．（本小题满分15分）
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
（1）求证：；
（2）线段上是否存在点，使平面平面，若不存在请说明理由；若存在给出证明．
18．（本小题满分17分）
如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记，
（1）请用，来表示平行四边形的面积；
（2）若．
①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值；
②记（其中，，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中，2，，，为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离；
（3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.解：若，，则或，所以选项错误；若，，则与平行或相交成任意角，所以错误；若，，则与相交或或，所以选项错误；
若，，则，所以正确．故选：．
2.解：，故对应的点为，位于第一象限．故选：．
3.解：因为，所以由，可得．故选：．
4.解：因为，，，所以，
所以，，所以向量在向量方向上的投影为．故选：．
5.解：由题意知，直三棱柱中，，，，
以、、为顶点，画出长方体，如图所示：
则长方体的外接球即为三棱柱的外接球，所求的外接球的直径为体对角线，外接球的表面积是．故选：．
6.解：由题意两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，
可设圆台的上底面半径为，下底面半径为，依题意，，解得，，
又圆台的母线长，则圆台的高为，故正确；
圆台的体积为，故错误；圆台的表面积为，故正确；圆台的轴截面面积为，故正确．故选：．
7.解：设圆锥的母线为，因为圆锥的高，侧面积，
由，得，①由，②，联立①②解得，，
则圆锥轴截面的顶角为，所以△的面积为．故选：．
8.解：如图，以为原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系，
因为，，，所以，，
因为平分，所以直线的方程为，则设，
所以，，，
所以，
所以，
则当时，取最小值，此时，
则．故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．解：由得，故正确；则在复平面内对应的点位于第二象限，错误． 的虚部为，正确，，的共轭复数为，错误．故选：．
10.解：选项，因为面，所以平面内平行于的直线都平行于平面，故选项正确；
选项，在平面内作直线的垂线，则面，所以垂直于平面的任意直线，
所以平面内已知直线必垂直于直线，以及与平行的无数条直线，故选项正确；
选项，平面内垂直于两平面交线的直线才垂直于平面，故选项错误；
选项，若在交线上取一点，作交线的垂线，则该垂线不一定垂直于平面，
只有过平面内，且在交线外的一点作交线的垂线，才有此垂线必垂直于平面，故选项错误．
故选：．
11.解：由，可得，，
对于：圆锥的侧面积为，故正确；
对于：由题设图形可知，当时，△的面积最大，此时，
则三棱锥体积的最大值为，故正确；
对于：当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，，达到最大值，
又因为点与，不重合，则，又，可得，故错误；
对于：因为，，，
所以，又，所以△为等边三角形，则，将△以为轴旋转到与△共面，
得到△，则△为等边三角形，，如图：，
因为，，
由余弦定理，可得，
则，故正确．故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．解：复数，对应的向量分别是，则，
．则向量对应的复数为．故答案为：．
13．解：因为，所以，所以，
因为，所以，由，结合基本不等式：，
得，所以，当且仅当时取等号，
所以．故答案为：．
14．解：如图，以的中点为原点建立平面直角坐标系，
则，，当为圆弧的中点时，，则，，
所以，则与的夹角为；设，
则，，
得，
当时，的最小值为0．故答案为：；0．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（1）因为，且与的夹角为，
所以，解得，
则，所以；
（2）因为，
所以，
由于与所成的角是锐角，
所以，，解得且，
所以实数的取值范围为．
16．（本小题满分15分）
解：（1）由余弦定理得①，
且△的面积，可得②．
②①，整理得，结合，可得；
（2）根据且，解得，
设△的外接圆半径为，由正弦定理得，，
所以，即，解得，
所以，结合题意，可得．
由，可得，所以．
因此，△的周长．
17．（本小题满分15分）
解：（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以；
（2）存在，且当点是的中点时，平面平面．下面给出证明：
因为、分别是、的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
由（1）知，，又是的中点，，所以，
所以四边形是平行四边形，从而，
又平面，平面，所以平面．
又因为，所以，平面平面．
18．（本小题满分17分）
解：（1）过点作的垂线，垂足为，
在△中，，，
在△中，，
则，
所以，
所以；
（2）①若，由题意可得，
所以平行四边形的面积
，
由于，
故当时，即时，取得最大值为；
②根据题意，建立如图所示的坐标系，
则，即，
又，
则，
因，即，
则，，
解得：，，
所以，
由点是弧上一动点，则，
则，所以，即，所以的取值范围为．
（本小题满分17分）
解：（1）根据离散曲率的定义得，
，
，
又因为
，
所以．
（2）因为平面，平面，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
因为平面，，
因为，即
所以，所以，过点作于点，
由平面，平面，得，
又，，平面，则平面，
因此点到平面的距离为线段的长，在△中，，
所以点到平面的距离为．
（3）过点作交于，连结，
因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
依题意可得，，
，
，，
设，则，
在△中，，
又，所以，
则，
所以，
解得：或（舍，故．

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