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《2024-2025学年度高一数学5月月考》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A D C B B C B AD AC AD
1．A
【详解】由题意，因此它有8个子集，其中非空子集有7个．
故选：A．
2．A
【详解】因为，
所以．
故选：A．
3．D
【详解】对于A：若且，则或与相交，故A错误；
对于B：若，则或，又，
当，则与平行或相交或异面，
当，则与平行或异面，故B错误；
对于C：若，，则或，又，所以或与相交（不垂直）或，故C错误；
对于D：若，则或，又，所以，故D正确.
故选：D
4．C
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
又，
所以，又，
所以向量与向量的夹角为，即.
故选：C.
5．B
【详解】由题意可得： ，解得： ，
由余弦定理： ，
结合正弦定理结合分式的性质，则： .
本题选择B选项.
6．B
【详解】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
则，，
可得
，
其中，，
因为，则，可得，
所以的最小值为.
故选：B.
7．C
【详解】如图，底面为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设，
分别取的中点，连接，
则，且，平面，
可知平面，且平面，
所以平面平面，
过作的垂线，垂足为，即，
由平面平面，平面，
所以平面，
由题意可得：，则，即，
则，可得，
所以四棱锥的高为.
故选：C.
8． B
【详解】对于A，因为，，所以，
若，因为，，平面，平面，所以平面，
可得，这与矛盾，故A错误；
对于B，因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
得，又因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，所以，故B正确；
对于C，平面，所以就是与平面所成的角，
因为，所以与平面所成的角为，故C错误；
对于D，四面体的体积为，故D错误.
故选：B.
9．AD
【详解】对于A，，其虚部为1，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，故的共轭复数为，故D正确.
故选：AD.
10．AC
【详解】对A，正方体中，平面，平面，平面，
A选项正确；

对B，由图可知直线与直线都在平面中，故B选项错误；
对C，连接，，取的中点，连接，
又为的中点，则，
正方体中，，且，平面，
得平面，则平面，故C选项正确；
对D，连接交于点，连接，
由平面，有平面，
则即为直线与平面所成的角，
，，则，故D选项错误.
故选：AC.
11．AD
【详解】由图像可知， ， ，即，故A正确；
，此时，
又 在图像上， ，解得，
，
，， ，
当是函数的一条对称轴时，此时不符合题意，故B错误；
将的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为：
不为奇函数，故C错误；
令 ，解得 ，
当 时， ，不合题意
时， ；时， ；时， ；
又因为函数在上有且仅有两个零点
，解得 ，故D正确.
故选：AD.
12．
【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可，
所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上，
而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等，
所以的中点是外接球的球心，所以，
所以该鳖臑外接球的表面积为．
故答案为：.
13．/0.28
【详解】由，得，
则
，
故答案为：
14．
【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，

设点的新位置为，连接，则有，如图，

当三点共线时，则即为的最小值，
在三角形中，，，
由余弦定理得，
所以，即，
在中，，，
由勾股定理可得且.
同理可求，因为，
所以为等边三角形，所以，
所以在中，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
15．(1),
(2)
【详解】（1）因为为边上的中线，
，
因为，，
所以，，
所以.
（2）由，得，，
又，所以向量与得夹角为，
由图形可知的大小等于向量与的夹角，
，
，
，
所以，
又因为，所以.
16．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在四棱锥中，，，则，
，在中，，则，
即，于是，由平面，平面，
得，又平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，而平面，则，又，
因此是二面角的平面角，
在中，，则，由是的中点，
得，于是，
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）∵，
∴，
，
，
∵，∴，
又，∴，
，；
（2）根据正弦定理，，
则
，
，所以的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）如图，连接交于，连接．
因为为正方体，底面为正方形，对角线交于点，
所以为的中点，又因为为的中点，
所以在中，是的中位线，
所以，又平面平面，
所以平面．

（2）由（1）知，平面，点为中点，
则点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积．
正方体的棱长是1，是的中点，所以，则的面积，
所以三棱锥的体积．

（3）连接，因为和平行且相等，故四边形为平行四边形，
所以．又面面，故面．
又由（1）知，面，而面，
故面面．因此满足题意的点轨迹为线段．
要求最小值，即求到最小值．
在中，，故为等腰三角形，
求最小值即求底边上的高，求得．

19．(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【详解】（1）根据题意，当，即时，，不合题意；
当，即时，
的解集为R，即的解集为R，
即，故时，或.
故 ．
（2），即，
即，
当，即时，解集为；
当，即时，，
，
解集为或；
当，即时，，
，
解集为．
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为或.
（3），即，
恒成立，
，
设则，
，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
当时，，
．贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年度第二学期
5月月考 高一数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则的非空子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知表示不同的直线，表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
4．已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为
A．30° B．90° C．60° D．120°
5．在中， ，其面积为，则等于
A． B． C． D．
6．已知在中，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1 B．2 C． D．
8．．如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．与平面所成的角为
D．四面体的体积为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．的虚部为1 B．
C． D．的共轭复数为
10．如图，正方体的棱长为1，E为的中点，下列判断正确的是（ ）
A．平面
B．直线与直线是异面直线
C．在直线上存在点F，使平面
D．直线与平面所成角是
11．如图是函数（，，）的部分图像，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是的函数的一条对称轴
C．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D．若函数（）在上有且仅有两个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 .
13．已知，则 .
14．如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为 ．
四、解答题:本题共5小题，共77分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在中，，，，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，.
(1)用向量，表示，；
(2)求.
16．如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．
17．在锐角中，角的对边分别为，，，已知且.
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围.
18．如图，在正方体中，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)连接交于点，求三棱锥的体积；
(3)已知点为中点，点为平面内的一个动点，若平面，求长度的最小值．
19．已知函数．
(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．

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