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济南一中2024级高一第二学期5月学情检测
高一 数学试题
说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，共11题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共8题。请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交。试题满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足，则的虚部为
A． B. C． D．1
2．甲，乙二人同时射击，甲的命中率为，乙的命中率为，则命中目标的概率是
A． B． C． D．
3．若，，若，则
A．4 B． C． D．5
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，，则 D．若，，且，则
5. 某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：
下列结论正确的是
A．该校2023年与2022年的本科达线人数比为6:5
B．该校2023年与2022年的专科达线人数比为6:7
C．2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80%
D．2023年该校不上线的人数有所减少
6．如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为74，则该方斗杯可盛水的总体积为
A．148 B．
C. D．196
7．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为
A． B．
C．1 D．
8．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是
A．的实部为 B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根
10. 设样本空间,且每个样本点是等可能的,已知事件, 则下列结论正确的是
A．事件A与B为互斥事件 B．事件A,B,C两两相互独立
C． D．
11．在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则
A．
B．三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
第Ⅱ卷（共92分）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，梯形的面积为30，则梯形的高为 ．
在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 .
“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为 .
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
已知向量满足，，且的夹角为．
(1)求；
(2)求在上的投影向量；
(3)若向量，求实数的取值．
16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
17. 2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；
(2)用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，，E为棱AD的中点，平面ABCD．
(1)求证：平面PCE；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的大小为，求直线PA与平面所成角的正弦值.
19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔 德 费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．在费马提出的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于时，费马点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，费马点为三角形最大内角的顶点．
已知中，，，分别是角，，所对的边，且，．
(1)求角的大小；
(2)若点为的费马点，求的值.
2024-2025学年高一数学下学期期末模拟测试卷01
一、单选题
1．A.
2．B
3．C
4．D
5. C.
6．D.
7．A．
8．D
二、多选题
9．ACD
BC
11．ABD
三、填空题
12．.
13．37
14．
四、解答题
15. （1）根据向量模的平方等于向量自身平方，可得.
根据完全平方公式，则.
已知，，且，的夹角为，可得.
所以.则.
（2）根据投影向量的定义，在上的投影向量为.
由前面计算可知，，所以投影向量为.
（3）因为向量与向量垂直，所以可得.
将，，代入上式，得到，即.解得.
16．（1）由题意得，
因为，
所以，
得，得，因为，所以．
（2）由，得．
由余弦定理，得，
得，
得，
所以的周长为．
17．（1）由，
解得，
因为（人），（人）．
所以不高于50分的抽取（人）
（2）平均数．
由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3，
设学生成绩中位数为t，，则：，解得，
所以中位数为.
（3）法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，
则．
答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A
答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
18.（1）依题意，且，则四边形为平行四边形，，
而平面，平面，
所以平面.
（2）由平面，平面，得，
连接，由且，得四边形为平行四边形，
又，则为正方形，有，
又，则，又平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
（3）由平面，平面，得，
又，平面，则平面，
又平面，因此，为二面角的平面角，即，
在中，，在平面内过作于点M，
由（2）知，平面平面，平面平面，则平面，
于是为直线在平面上的投影，为直线与平面所成的角，
在中，，，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.（1）由，及正弦定理得，
因为，所以，消去得．
因为，故或，
而根据题意，故不成立，
所以，又因为，代入得，所以．
（2）由（1）可知，，结合三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，
结合题设易知点P一定在的内部．
由余弦定理可得，
解得
，
所以，
所以
．

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