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河北省邯郸市大名县第一中学2024 2025学年高二下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为（ ）
A．36 B．72 C．144 D．108
3．现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变， 不同的方法共有（ ）
A．30种 B．56种 C．12种 D．42种
4．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
（参考数据：，）
A．变量服从正态分布 B．
C． D．
7．已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若回归方程为，则变量x与y负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数
D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
10．已知函数满足对任意的，都有，且.下列结论正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．若，则
D．若，则4是的一个周期
11．给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域是
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．已知，则函数
D．函数在上为减函数，则实数a的取值范围
三、填空题
12．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为 .
13．.
14．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是 .
四、解答题
15．随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果：
职业 买食品时是否看营养说明 合计
不看营养说明 看营养说明
从事与医疗相关行业 12 28 40
从事与医疗无关行业 18 22 40
合计 30 50 80
（1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率；
（2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？
参考公式：
独立性检验中常用小概率值和相应临界值：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．一个盒子中有6个粽子，其中2个白粽，4个肉粽．从盒子中随机取出一个粽子（不放回），然后再从盒子中随机取出一个粽子．
（1）求第一次取到白粽的概率；
（2）在第一次取到白粽的条件下，求第二次取到肉粽的概率；
（3）设表示两次取粽取到白粽的个数，求的分布列和均值．
17．设，，．若，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
18．不动点原理是数学上一个重要的原理，也叫压缩映像原理，用初等数学可以简单的理解为：对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知二次函数
（1）若时，讨论不动点的个数；
（2）若，，为两个相异的不动点，且，，求的最小值.
19．甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立．
（1）当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率；
（2）若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围；
（3）若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，，
可得.
故选D
2．【答案】C
【详解】根据题意，考虑间接法求解，即求出甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名
老师的方法种数，减去每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法种数即可.
将甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，可分为两种情况，
其一：按照“221”分组，有种方法；其二：按照“113”分组，有种方法.
而每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法有种.
故不同的分配方法总数为种.
故选C.
3．【答案】D
【详解】原来名同学站成一排，有个空位可以插入甲同学，
所以甲同学有种不同的排法.
当甲同学插入后，此时包括原来名同学和甲同学一共有个人，
这个人形成了个空位，所以乙同学有种不同的排法.
故完成将甲、乙名同学加入排列这件事，
分两步：第一步甲同学有种排法，第二步乙同学有种排法，
那么根据分步乘法计数原理，不同的方法共有（种）.
故选D
4．【答案】C
【详解】对于A选项，当时不满足，故A错误；
对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误；
对于C选项，若，则，，，，
故，即，故C正确；
对于D选项，取，，可得，故D错误．
故选C
5．【答案】D
【详解】因为中常数项为1，项的系数为，
所以的展开式中，的系数为，
故选D
6．【答案】D
【详解】依题意，，，
对于A，变量服从正态分布，A错误；
对于B, ,故B错误，
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选D
7．【答案】C
【详解】若函数的图象关于点成中心对称图形，且函数的定义域为，
则，即，
设，则函数的定义域为，
则，即函数为奇函数，
因此，“的图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的充要条件.
故选C.
8．【答案】B
【详解】，
，
，
当时，；
当时，
的可能取值，0．
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，回归方程为的斜率为负，则变量x与y负相关，A正确；
对于B，回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确；
对于C，散点图中所有点都在直线上，则相关系数，C错误；
对于D，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确.
故选ABD.
10．【答案】ABD
【详解】令，则，
因为，所以，故A正确；
令，则恒成立，
所以函数为偶函数，故B正确；
，令，则，故C错误；
，令，则，
所以，
则为周期函数且为其一个周期，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】BD
【详解】A：由已知得，即的定义域是，错；
B：由函数定义：定义域上任意自变量对应唯一函数值，定义域外没有对应函数值，故函数的图象与直线的交点最多有1个，对；
C：令，则，故，所以函数且，错；
D：由题意，对.
故选BD
12．【答案】
【详解】解：幂函数在上单调递减，
，且，求得.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
原式
.
14．【答案】
【详解】设从甲盒取出2个红球；从甲盒取出2个白球；
从甲盒取出1个白球和1个红球；从乙盒取出2个红球.
所以
.
15．【答案】（1）
（2）无差异
【详解】（1）用A表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”，
B表示事件“受访者从事医疗无关行业”，“已知此人在购买食品时要看营养说明，
求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率就是在“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为，
，，所以；
（2）零假设为：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异，
根据表中数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以可以认为成立，
即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异.
16．【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【详解】（1）因为盒子中有6个粽子，其中2个白粽，4个肉粽，
所以第一次取到白粽的概率；
（2）记第一次取到白粽为事件，第二次取到肉粽为事件，
则，，
所以；
（3）依题意的可能取值为，，，
所以，，，
所以的分布列为：
0 1 2
则.
17．【答案】（1）
（2）
（3）12
【详解】（1）由二项式定理可得展开式的通项为，
所以，
所以.
整理可得，解得或（舍去负值），
所以.
（2）由（1）可得，.
令，可得，
所以.
（3）对两边同时求导可得，
整理可得.
代入，可得.
18．【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【详解】（1）由题设，令，整理得，
所以，
当或时，，此时有两个不同的不动点；
当或时，，此时有一个不动点；
当时，，此时没有不动点；
（2）由题设，令，整理得，
且，
所以，，又，，则，
则
，
当且仅当时等号成立，
所以目标式最小值为.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率，
根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得
则甲最终获胜概率是：．
（2）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率，
根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得
甲最终获胜概率是：，
5局3胜制甲最终获胜结果可以是：、、，
则甲最终获胜概率是：，
由题知，即，
则，
又，则p的取值范围是．
（3）由题，，故，．
是数列的唯一的最大项，则必有，
即，解得：，
此时，，则
则时，；时，；
即，故是数列的唯一的最大项．
综上，p的取值范围是．

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