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湖南省名校联考联合体2024 2025学年高二下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数，则（）
A．图象关于对称，且在上是增函数
B．图象关于对称，且在上是减函数
C．图象关于对称，且在上是增函数
D．图象关于对称，且在上是减函数
6．若函数在内有且只有2个极值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是圆上的动点，且，点D为的中点，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．已知是无穷等比数列，其前n项和为．若对任意正整数，都有，则实数A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．已知，若，则
B．数据的第75百分位数为47
C．若样本数据的标准差为1，则数据的标准差为2
D．数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数
10．如图，在长方体中，是线段上的一动点，则以下命题正确的是（ ）
A．平面
B．的最小值为
C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D．B为球心，为半径的球面与侧面的交线长为
11．已知函数的定义域均为是偶函数，，则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．是的对称轴
三、填空题
12．某实验室需将五份不同样本（编号为）存放于特定的五个实验柜中，这些实验柜都分布在A区，柜子编号分别为．若要求存放方案中恰有两份样本的存放柜编号与自身编号一致（编号为i的样本存放于编号为的柜子中时表示编号一致），那么符合条件的存放方案共有 种．
13．已知函数是偶函数，则 ．
14．已知点为椭圆上两点，且点A在第一象限，点B在第二象限，，射线的斜率分别为，则的最小值为 ．
四、解答题
15．锐角的内角的对边分别为，已知且．
（1）求角C的大小；
（2）求的取值范围．
16．蒙古包可以近似的看成是由一个圆柱跟一个圆锥拼接而成．如图，为某一个蒙古包的轴截面，，现沿直线将向上折起得到，得到四棱锥，且P点在平面上的射影在上，E为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知函数．
（1）判断在区间的单调性；
（2）求的最小值；
（3）证明：当时，．
18．已知双曲线E的渐近线方程为，且过点．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）点Q为双曲线E上一点，证明点Q到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值；
（3）双曲线E的两个顶点分别为，点M在直线上，直线与双曲线E分别交于（异于）两点，且直线与x轴垂直，求点M的坐标及直线的方程．
19．某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第i年的年广告费（单位：百万元）满足递推关系，且，年销售量（单位：百万辆）与年广告费相关．令，经过数据处理得到如下统计量的值：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有模型作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中均为常数．
（1）求；
（2）求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）
附：①回归直线
②参考数据：，．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题意知，,所以，
故选C.
2．【答案】B
【详解】，
所以，即对应的点在第二象限.
故选B.
3．【答案】B
【详解】若，则满足，但不满足，故A错误；
因指数函数在上单调递增，则若有，故B正确；
若，则，故C错误；
若，则满足，但不满足，故D错误.
故选B
4．【答案】D
【详解】向量在向量上的投影向量为
.
故选D.
5．【答案】B
【详解】因为，所以，
注意到，所以图象关于直线对称；
当时，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在上单调递减，
故选B
6．【答案】A
【详解】，
因为求的最大值，所以只考虑时的情况，
当时，则，
因为有且只有2个极值点，所以，
解得，所以的最大值为.
故选A.
7．【答案】A
【详解】设原点为，依题意有，且，
所以，可得，
由，则，又点D为的中点，则，
由
，
当且仅当、方向相反时取等号，所以的最大值为.
故选A
8．【答案】B
【详解】由，故，所以公比为，
故，
由可得，
当为奇数时，则，故，
由于为单调递增，故，
当为偶数时，则，故，
由于为单调递增，当时，此时取最小值，故，
综上可得
故选B
9．【答案】ABC
【详解】对于A，已知， 若，，故A正确；
对于B，，位置为整数4，直接取排序后第4个数据47， 故这组数据的第75百分位数为47，故B正确；
对于C，若样本数据的标准差为1，则数据的标准差受乘数2影响，加1不影响标准差，故新数据的标准差为2，故C正确；
对于D，不妨设，则，解得，此时，故找到一组数，数据中有大于5的数，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】ABD
【详解】
如图连接，在长方体中，易知，，
面， ，面，同理可证面，
，面面，又平面，
平面，A正确.
如图所示，把面和面展开，线段就是的最小值，
设，，
易知，
在中，则，
在中，，
根据余弦两角和的公式有，
在中，，
，B正确.
如图所示，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则，设，
，
，解得，
，
易知面的一个法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值，
二次函数，在时有最大值，此时取得最小，最小值为，所以C错误.
如图所示，球与面的交线是，以为圆心，为半径的圆，弧长为，所以D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】对A，，令，，
解得，所以A正确.
对B，是偶函数，，
，
故，
所以是偶函数，B错误.
对C，①，
可得， ①式带入得，
所以，即，
所以C正确.
对D，由C选选项可知，由B选项可知，
所以，可知是的对称轴.
所以D选项正确.
故选ACD.
12．【答案】20
【详解】先从五份样本中选出两份放入对应编号的柜子里有种方法，
其余三份都和自身编号不一致的方法共有2种，所以共有20种方案.
13．【答案】/0.5
【详解】由题意知：是偶函数，
则，
即：
即：
即：，解得：.
14．【答案】
【详解】设，
设直线．直线，
由，所以，同理得，（显然判别式大于零）
点B到直线OA的距离，
所以．
平方得，所以，
因为点A在第一象限，所以，所以．
当且仅当时取等号．
15．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）已知，
由正弦定理，得，
所以．因为，所以．
（2），由正弦定理，则，
可得
，
又因为锐角，所以，所以，
所以，
所以．
16．【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【详解】（1）
设交于点，连接，
因为四边形是矩形，所以点是的中点，点是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）取中点，连接，由题意可知，平面平面，
故，
又因为平面平面，平面，
所以平面，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面，所以可取平面的一个法向量为，
由于，所以，
所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，解得，
故为平面的法向量，
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）在和单调递增，在和单调递减
（2）1
（3）证明见详解
【详解】（1）由题可得，
当时，，当时，，当时，，当时，，
所以在和单调递增，在和单调递减.
（2），令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
（3）当时，令，
则，
因为，所以
由（2）知，故，
所以，故在上单调递减，
所以，所以．
18．【答案】（1）
（2）
（3），直线:
【详解】（1）由渐近线方程为，可设双曲线方程为，
将点代入方程可得，即.
故双曲线方程为.
（2）证明：设Q，
因为点Q在双曲线E上，所以，即，
双曲线E的渐近线方程为，
点Q到两渐近线的距离之积为，
故点Q到两渐近线的距离之积为定值，定值为.
（3）由（1）得，则双曲线E的两个顶点分别为，
不妨设，
由三点共线可得，即
由三点共线可得，即
则，代入双曲线方程得，即，
把，代入方程得，
所以，直线的方程为.
19．【答案】（1）
（2），当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）
（3）
【详解】（1）由得：
，
即，
所以，
即，
所以为等差数列，又，
所以公差为1，
所以，
（2）令，则，
由公式，
又由，，
得，
所以，即回归方程为.
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为，，
令，
所以.
可得在上为增函数，在上为减函数.
所以，
由题意得：，即，
，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为.

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