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江西省新九校协作体2024 2025学年高二下学期第二次联考数学试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）

A． B．
C． D．
3．已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．若数列满足，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
6．的展开式中常数项为（ ）
A． B．80 C． D．160
7．设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（ ）
附：若，则.
A． B． C． D．
8．若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．有三名男生 两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有（ ）
A．如果两名女生必须相邻，那么有48种不同排法
B．如果三名男生均不相邻，那么有12种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有48种不同排法
D．如果三名男生不能连排在一起，那么有108种不同的排法
10．已知点在抛物线上，过的焦点的直线与相交于两点，在，两点处的切线相交于点的中点是，若，则（ ）
A．
B．的准线方程是
C．点在抛物线上
D．点在的准线上
11．设函数，数列满足，，则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
三、填空题
12．若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，则的离心率为 .
13．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 .
14．若为自然对数的底数，是定义在上的函数，且，则不等式的解集为 .
四、解答题
15．已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16．甲 乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各50个，得到他们加工后的零件尺寸（单位：）及个数，如下表：
零件尺寸 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
零件个数 甲 4 5 20 15 6
乙 9 7 15 8 11
已知一等品零件尺寸与的误差不超过，其余零件为二等品.
（1）试根据上述数据建立一个列联表，并判断能否有的把握认为加工后的零件是不是一等品与甲 乙有关？
（2）如果从已经抽检出的这100个零件中，按照甲 乙分层随机抽样的方法抽取7个一等品零件，再从这7个零件中随机抽取4个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用.设乙加工的零件送给商家试用的个数为随机变量，求的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025
2.706 3.841 5.024
17．如图，在三棱柱中，，，，是的中点，.
（1）求三棱柱的体积；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知函数的定义域为，区间是的子集，若的图象上存在两点，，使直线恰好是曲线的一条切线，且为切点，记直线的方程为，如果都有，则称函数是“桥函数”，称两点为“桥墩”.
（1）若，试说明函数能否是以两点为“桥墩”的“桥函数”？
（2）判断函数与是不是“桥函数”？并说明你的理由.
19．已知过点的椭圆的离心率为.
（1）求的方程；
（2）已知是的左顶点，直线与相交于，两点，且两点均不与点重合.
（i）若直线与圆相切，证明：以为直径的圆经过坐标原点；
（ii）若直线的斜率之积为，证明直线过定点，并求出定点的坐标.
参考答案
1．【答案】C
【详解】.
故选C.
2．【答案】D
【详解】由散点图可知，图（1）中两个变量成正相关，且散点图近似在一条直线上，所以且；
图（2）中两个变量成负相关，且散点图比较分散，所以且；
所以.
故选D
3．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，解得，所以，则，
所以当时，所以在上单调递增，
所以，解得.
故选D
4．【答案】B
【详解】由函数，可得，
因为函数存在极值点，则满足，
即，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选B.
5．【答案】D
【详解】数列满足，，
，，，
，，
是周期为3的周期数列，
而，故．
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为，
其中展开式的通项为（且），
所以展开式中常数项为.
故选C
7．【答案】B
【详解】因为，所以，
若对任意实数恒成立，则，
所以，
又，所以，，，，，，
所以，，
则.
故选B.
8．【答案】D
【详解】令，则，则，
令，则，当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又当时，当时，
所以的图象如下所示：
依题意与有两个交点，则，则.
故选D
9．【答案】AB
【详解】对于A，将这两名女生捆绑，作为一个＂元素＂与剩下的三名男生进行全排列，
此时共有种不同的排法，故A正确；
对于B，先对三名男生进行全排列，再将女生插入三名男生所形成的中间2个空中，此时共有种不同的排法，故B正确；
对于C，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，
此时共有种不同的排法，故C错误；
对于D，5个人排成一排的全排列有种，三名男生连排在一起的排法有种，
所以如果三名男生不能连排在一起，此时有种不同的排法，故D错误．
故选AB．
10．【答案】BCD
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
因为，所以，解得，
所以抛物线，准线方程为，故B正确；
又点在抛物线上，所以，解得，故A错误；
设直线的方程为，由，可得，
设，，则，，
所以的中点的横坐标为，则，
即，显然，所以点在抛物线上，故C正确；
由，则，所以抛物线在，两点处的切线分别为，，
则，解得，
所以，
所以，即点在的准线上，故D正确.
故选BCD
11．【答案】BCD
【详解】对于A：因为，即，解得，故A错误；
对于B：因为，所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
对于C：由B可知，则，
又，
所以，故C正确；
对于D：，
当且仅当，即时成立，
又，所以，故D正确.
故选BCD
12．【答案】
【详解】双曲线的渐近线方程为，
设双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为，
依题意可得，
所以的离心率.
13．【答案】
【详解】因为 为等差数列，所以
．
14．【答案】
【详解】令，
则，
∵，
∴，
∴，则在上单调递减，
∵，
∴，等价于，
根据的单调性解得，
所以不等式的解集为.
15．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）设数列的公差为，则．
由得化简得，
因为，所以，
所以．
（2）由（1）知，
则，
,
两式相减得，
所以．
16．【答案】（1）有的把握认为加工后的零件是不是一等品与甲 乙有关
（2）分布列见解析，
【详解】（1）依题意可得列联表为：
一等品零件数 二等品零件数 合计
甲 40 10 50
乙 30 20 50
合计 70 30 100
所以，
所以有的把握认为加工后的零件是不是一等品与甲 乙有关．
（2）依题意甲加工的抽取个，乙加工的抽取个，
则的可能取值为、、、，
所以，，，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，，是的中点，所以，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
又平面平面，作交于点，平面，
所以平面，
则为三棱柱的高，
又，，所以，，
又，所以，则，即为等腰直角三角形，
所以，
所以三棱柱的体积.
（2）如图以为轴，为轴，过点作与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】（1）是
（2）不是“桥函数”，是 “桥函数”，理由见解析
【详解】（1）因为，所以，则，，
所以函数在处的切线均为，
因此经过两点的直线恰好为的一条切线，
又对恒成立，
所以函数是以两点为“桥墩”的“桥函数”.
（2）函数不是“桥函数”，是 “桥函数”，理由如下：
对于函数，则，显然在定义域上单调递减，
所以在函数上任意两点的切线的斜率均不相同，
故不满足“直线恰好是曲线的一条切线”，所以不是“桥函数”；
对于，则，
设，
所以点处的切线方程为和，
所以，
所以，
不妨取且，
代入，可得
则，即，
所以，不妨取，则，，
所以，
又在点处的切线的斜率，，
所以函数在，两点的直线恰好是曲线的一条切线，
此时切线的方程为，
再说明当时，函数的图象不在的下方，
即需要说明对恒成立，
因为对任意的实数，横跨，
即恒成立，
所以是 “桥函数”.
19．【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点坐标为
【详解】（1）依题意可得，解得，
所以椭圆方程为；
（2）由，消去整理得，
则，
设，，则，，
所以
；
（i）因为直线与圆相切，所以，即，
所以，
所以，即，
所以以为直径的圆经过坐标原点；
（ii）因为椭圆的左顶点为，
所以
，
所以，即，
所以或；
当时，直线的方程为，即，
令，得，
则直线恒过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，即，
令，得，
则直线恒过点，此时，符合题意；
故直线恒过定点，定点坐标为.

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