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山东省潍坊市2024 2025学年高二下学期诊断性调研监测数学试题
一、单选题
1．已知6是t和2的等差中项，则t的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．11
2．已知随机变量，若，则（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
3．已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．2
4．已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知函数在处取得极值，则（ ）
A． B． C．5 D．9
6．某学校计划开设某门特色课程，现对男女生参加该课程的意愿程度进行调查，得到以下列联表：
愿意参加 不愿意参加 合计
男生 20
女生 20
合计 50 100
则的值为（ ）
（附：，）
A．4 B． C．5 D．
7．已知随机事件A，B，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的不等式存在唯一的整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量X的期望，则
B．离散型随机变量的标准差越大，说明变量离散程度越小
C．对应的正态曲线与x轴围成图形的面积与参数无关
D．回归分析中，两个变量的线性相关性越强，它们的相关系数的绝对值越大
10．已知定义在上的函数，部分对应的函数值如表，其导函数的图象如图所示，则（ ）
x 2 3
1 2 0
A．在是减函数
B．在定义域上有两个极值点
C．若，则函数有两个零点
D．若在上的最大值为2，则
11．设数列的前n项和为，若满足：对任意的正整数，存在正整数m，k，使得，称数列是“T数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为T数列
B．若，则为T数列
C．若，则为T数列
D．若，则存在两个T数列，使得
三、填空题
12．已知等比数列中，，则 ．
13．若随机变量，且，则 ．
14．已知函数，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
在点处作C的切线，交x轴于；
……
由此能得到一个数列，称为“牛顿数列”，则的值为 ；若，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和．
16．已知函数，曲线在处的切线斜率为．
（1）求a的值；
（2）求在区间上的最值．
17．某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数．
（1）利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）在（1）的条件下，
（i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）；
（ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由．
参考数据：记
45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42
参考公式：．
18．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围；
（3）当时，证明：．
19．某种微生物群体可以通过自身繁殖的方式不断生存下来，且每个个体繁殖后自身消亡．假设开始时有一个该微生物个体，称为第0代，经过一次繁殖后产生第1代，第1代经过一次繁殖后产生第2代，…，每个该微生物个体繁殖产生下一代个数为1和2的概率均为，假设每个个体繁殖过程相互独立，记随机变量为繁殖产生的第代的个体总数．
（1）若，求的分布列和期望；
（2）证明：；
（3）定义：的条件下，随机变量的期望称为条件期望，记作，且．求．参考公式：
参考答案
1．【答案】C
【详解】由于6是t和2的等差中项，故，故，
故选C
2．【答案】C
【详解】因为，所以
由，可得，
故选C.
3．【答案】A
【详解】因为，，
所以，，，.
故选A
4．【答案】D
【详解】因为，则，解得.
故选D
5．【答案】D
【详解】函数，
则，
因为在处取极值，
所以，解得：，
经检验满足题意.
故.
故选D.
6．【答案】A
【详解】根据表中数据完成下列联表，如下：
愿意参加 不愿意参加 合计
男生 30 20 50
女生 20 30 50
合计 30 50 100
则.
故选A.
7．【答案】B
【详解】因为，故，而，故，
故，同理，
故，
故选B.
8．【答案】A
【详解】令，则，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
其中，，，
且时，恒成立，时，恒成立，
而的图象为过定点的直线，
设与相切时，切点为，
则切线斜率，又在上，
故，，与联立得
，解得，
当时，切线斜率为不合要求，
当时，切线斜率为，满足要求，
故当时，图象恒在的上方，不合要求，
同一坐标系内，画出两函数图象，如下：
显然，当经过点时，，
当经过点时，，
不等式存在唯一的整数解，显然此整数解为-1，
需满足，即.
故选A
9．【答案】ACD
【详解】由，得，故A 对；
离散型随机变量的标准差越大，随机变量取值越分散，说明变量离散程度越大；故B错；
对应的正态曲线与x轴围成图形的面积与参数无关，始终为1，故C对；
回归分析中，两个变量的线性相关性越强，它们的相关系数的绝对值越大；故D对；
故选ACD
10．【答案】BCD
【详解】根据的图象可知：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
结合给定的函数值，可作出函数的草图，如下：
对A：由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故A错误；
对B：由图可知，函数在上有两个极值点，分别为和，故B正确；
对C：当时，方程有两个不同的解，故C正确；
对D：由图可知，函数在上要想取到最大值2，须有，故D正确.
故选BCD
11．【答案】ABD
【详解】对于A，，为：，为周期数列，
则的可能取值为0或1，故当，时，可取，
时，可取，
故为T数列，A正确；
对于B，，则，
故对任意的正整数，为偶数，
令，则，由于为偶数，则为整数，
总能找到正整数，使得成立，如，
即存在正整数m，k，使得成立，B正确；
对于C，，，
当时，，令，
由于，
，故不存在正整数m，k，使得，C错误；
对于D，，可取，
结合B的分析可知为T数列，
对于，，
令，即，
对任意的正整数，总为正整数，
故总能找到正整数，使得成立，如，
故为T数列，即存在两个T数列，使得，D正确，
故选ABD
12．【答案】
【详解】由等比数列的性质可得，即，解得.
13．【答案】
【详解】因为随机变量，可知正态分布曲线的对称轴是，
所以正态分布的对称性可得，故.
14．【答案】
【详解】由可得，且，，
则切线方程为，令可得，解得，即，
在点处的切线斜率为，
则切线方程为，
因为切线交轴于，令，则，
即，即，
则，
则，
因为，所以，
且，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，
设，则，
当时，，
当时，，
当时，，即，
所以，且，
即的最大值为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以.
（2）由（1）知，则，
所以，
所以.
16．【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为.
【详解】（1）由题意可得，
因为，则，解得.
（2）由（1）可知，则，，
令，即，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
即时，有极小值，且，
又，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
17．【答案】（1）更适宜作为回归模型，理由见解析
（2）（i）；（ⅱ）会报警提示，理由见解析
【详解】（1）更适宜作为回归模型，理由如下：
从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化，
减小速度越来越慢，
呈线性变化，不适宜作为回归模型，故更适宜作为回归模型；
（2）（i）两边取对数得，
由于，
故，
，
即，故，
（ⅱ）会报警提示，理由如下：
中，令得
，
故会报警提示.
18．【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）因为，.
若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增；
若，由；由.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）得，欲使恒成立，须有，且.
由.
所以的取值范围为：.
（3）当时，.
设（），则，因为，所以.
所以在上单调递增，所以.
所以在上恒成立.
设（），则.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以即在上恒成立.
所以在上恒成立.
故原不等式成立.
19．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为3；
（2）证明见解析；
（3）
【详解】（1）由题意得，的所有可能取值为2，3，4，
，
，
，
所以的分布列为：
2 3 4
.
（2）由题意可知，事件表示在前代繁殖过程中只有一次繁殖为2个微生物个体，
且之前与之后都繁殖为1个微生物个体，
记事件表示＂第代繁殖为两个微生物＂（即第代开始为2个微生物），
则两两互斥，
且，
而，
因此
，
所以．
（3）在的条件下，的可能取值为，
则，
，
故由条件期望公式可得
.

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