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(共31张PPT)
16.3.2完全平方公式
第十六章 整式的乘法
人教版（2024）
素养目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释；
2.灵活应用完全平方公式进行计算；
重点
重点
3.掌握添括号法则.
知识回顾
计算：
(1)(a+3b)(a-3b)； (2) (3+2a)(-3+2a)；
(a+b) (a-b) = a2-b2.
两个数的和
两个数的差
平方差
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
= a2-9b2 ;
解：(1)原式= a2-(3b)2
=4a2-9.
(2)原式=(2a+3)(2a-3)
=(2a)2-32
新知导入
【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(p+1)2 = = = ；
(m+2)2 = = = .
p2+2p+1
m2+4m+4
(p+1)(p+1)
(m+2)(m+2)
多项式乘多项式
两数的和的平方
p2 + p + p + 12
m2 +2m+2m+22
两数的平方和加上它们积的2倍.
探究新知
【发现】两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍.
验证：
对于任意数字，探究上述发现是否仍成立？
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
= a2+2ab+b2.
= a2 + ab + ab + b2
两个数的和的平方
两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍
探究新知
【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
( p 1 )2 = = = ；
( m 2 )2 = = = .
p2 2p+1
m2 4m+4
(p 1)(p 1)
(m 2)(m 2)
多项式乘多项式
两个数的差的平方
p2 p p + 12
m2 2m 2m+22
两数的平方和减去它们的积的2倍
探究新知
【发现】两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，减去这两个数的积的2倍.
验证：
对于任意数字，探究上述发现是否仍成立？
两个数的平方和，减去这两个数的积的2倍
(a-b)2 = (a-b)(a-b)
= a2-2ab+b2.
= a2 - ab - ab + b2
两个数的差的平方
归纳总结
完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
和的平方
平方
积的二倍
平方
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
差的平方
平方
积的二倍
平方
探究新知
(a+b)2 = a2+2ab+b2.
(a–b)2 = a2–2ab+b2.
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；
4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
探究新知
你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗？
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
图 1
(a-b)2
a
b
b
a
ab
ab
b2
图2
探究新知
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
图 1
如图，边长为 (a + b) 的正方形的面积是 .
(a+b)2
它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和：
.
a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2
【结论】 (a+b)2 = a2+2ab+b2
探究新知
如图，边长为 (a b) 的正方形的面积是 .
(a b)2
它的面积还可以表示为：
.
a2 ab ab+b2 = a2+2ab+b2
【结论】 (a b)2 = a2 2ab+b2
(a-b)2
a
b
b
a
ab
ab
b2
图2
例题练习
运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2；
(2)
解：(1) (4m+n)2
=(4m)2+2 (4m) n+n2
= 16m2+8mn+n2；
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2
+2ab
b2
例题练习
(a-b)2=a2-2ab+b2
a2
-2ab
b2
(2) ( y )2
= y2 2 y +( )2
= y2 y + .
运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2；
(2)
例题练习
= (100 –1)2
=10000 –200+1
解： 1022
=10000+400+4
=10404.
992
=9801.
(1) 1022；
(2) 992.
运用完全平方公式计算：
= (100+2)2
探究新知
思考：
(a+b)2 与 ( a b)2 相等吗？
(a b)2 与 (b a)2 相等吗？
(a b)2 与 a2 b2 相等吗？
( a b)2=[ (a+b)]2=(a+b)2
相等
相等
(a b)2 (a2 b2)=2b2 2ab
不一定相等
若2b2 2ab=0，则(a b)2=a2 b2
(b a)2=[ (a b)]2=(a b)2
探究新知
回顾之前所学的去括号法则吗？试着去掉下面式子中的括号.
a+(b+c)=
a–(b+c)=
a+b+c
把上面两个等式的左右两边对换，等式仍成立，即，
a + b + c = a + (b + c)；a - b - c = a - (b + c).
添括号法则
a-b-c
探究新知
将等号左右两边对换，等式仍然成立.
a b c=a (b+c)
符号不变
符号不变
添上“+( )”，括号里的各项都不变符号.
符号改变
符号改变
添上“ ( )”，括号里的各项都改变符号.
a+b+c=a+(b+c)
归纳总结
添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 ；
不变符号
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_____符号.
改变
例题练习
运用乘法公式计算:
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) (2) (a+b+c)2.
解: (1)原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
(2)原式=[(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
平方差公式
完全平方公式
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
A
A
D
90
D
C
小结
完全平方公式
添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
内容
字母表示：(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
和 (或差)
两数的_________的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 .
2 倍
谢谢同学们的聆听

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