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2.2 空间向量及其运算 练习
一、选择题
1．如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于( )
A. B.
C. D.
2．在三棱锥中,M在PA上,N在BC上,且,,则( )
A. B.
C. D.
3．正方体的棱长为1，则( )
A.1 B.0 C.-1 D.2
4．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，则该二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5．已知空间四边形中,连结,,设M,G分别是,的中点,则等于( )
A. B. C. D.
6．在四面体中,,,,点D满足,E为的中点,且,则( )
A. B. C. D.
7．如图,在四面体OABC中,N是BC的中点.设,,,用a,b,c表示,则( )
A. B. C. D.
8．在三棱柱中,,,,BC的中点为O,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的是( )
A.若，则的长度相等而方向相同或相反
B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C.若两个非零向量与满足，则
D.若空间向量，满足，且与同向，则
10．如图,四棱柱中,M为的中点,Q为上靠近点的五等分点,则( )
A. B.
C. D.
11．一组样本数据为6,11,12,16,17,19,31,则错误的选项为( )
A.该组数据的极差为25
B.该组数据的75%分位数为17
C.该组数据的平均数为16
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据,则这两组数据的平均数可能相等
三、填空题
12．在正方体中,点M是的中点,已知,,,用,,表示,则_________________.
13．在空间四边形OABC中,,,,且,,则________.（用,,作基底）
14．如图，空间四边形OABC中，，，，点M、N分别是OA、BC的中点，则________.（用、、的线性组合表示）
15．已知底面重合的两个正四面体和，G为的重心，记，，则向量用向量，，表示为___________.
四、解答题
16．在四面体ABCD中，设＝，＝，＝，E，F分别是AB，CD的中点，试用，，表示向量.
17．如图,平行六面体中,,,,与AB、AD的夹角都为求:
（1）的长;
（2）与AC所成的角的余弦值.
18．如图，正方体的棱长为1，设，，，求：
（1）；
（2）；
（3）.
19．（例题）如图，在平行六面体中，，，，，.求：
（1）；
（2）的长（精确到0.1）.
20．如图，在平行六面体中，，，，，.求：
（1）；
（2）的长；
（3）的长.
参考答案
1．答案：B
解析：
.
故选：B.
2．答案：B
解析：M在PA上,N在BC上,且,,
.
故选：B.
3．答案：A
解析：
，
故选：A
4．答案：D
解析：由，
且，
得
，
故，
即，
所以，
即二面角的余弦值为.
故选：D
5．答案：B
解析：因为M,G分别是,的中点,
所以,
则.
故选:B.
6．答案：A
解析： ,
其中E为中点,有 ,故可知 ,
则知D为的中点,故点D满足,.
故选：A.
7．答案：A
解析：
8．答案：B
解析：易知.
故选:B
9．答案：BC
解析：A.若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；
B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；
C.若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；
D.若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.
故选：BC
10．答案：BD
解析：,
即,故A错误、B正确;
,
即,故C错误,D正确.
故选:BD.
11．答案：ACD
解析：对于A,根据极差定义,该组数据的极差为,故A正确;
对于B,因为,所以该组数据的分位数为,故B错误;
对于C,该组数据的平均数为,故C正确;
对于D,若该组数据去掉得到一组新数据,
则新数据6,11,12,17,19,31的平均数为,
所以这两组数据的平均数相等,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：
又是的中点,
,
,,,
.
故答案为：.
13．答案：
解析：在空间四边形OABC中,,,,且,,
所以
.
故答案为:
14．答案：
解析：如图所示，连接，
则，
所以.
故答案为：
15．答案：
解析：设H为BC的中点，连接AD，交平面OBC与I，
由题意得
故答案为：.
16．答案：
解析：
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设,,,
所以,,
因为
所以平行四边形中
所以对角线的长为:.
（2）由,可得,
所以
由,
可得
.
所以,
.
18．答案：（1）0
（2）1
（3）1
解析：（1）在正方体中，，，
故.
（2）由（1）知，
（3）由（1）及知，.
19．答案：（1）7.5
（2）
解析：（1）
；
（2）
，
所以.
20．答案：（1）10
（2）
（3）
解析：（1）由向量的数量积的概念，可得
.
（2）因为，
所以，
即的长为.
（3）以为，，
所以
.

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