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2.3 空间向量基本定理及坐标表示 练习
一、选择题
1．已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是( )
A.、、
B.、、
C.、、
D.、、
2．向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3．已知空间向量，，且，则( )
A.1 B.3 C. D.4
4．已知空间向量,,则下列向量可以与,构成空间向量的一组基底的是( )
A. B. C. D.
5．已知向量，，若，则x的值为( )
A.-3 B.3 C.-5 D.5
6．已知空间向量,,则( )
A. B. C. D.
7．已知向量,则( )
A.10 B.2 C.0 D.
8．棱长为2的正方体中，点E是的中点，则( )
A.0 B.1 C.2 D.
二、多项选择题
9．在棱长为2的正方体中,如图,以D为原点建立空间直角坐标系,E为中点,F为的中点,则( )
A. B. C. D.
10．如图,在正方体中,E,F分别是,的中点,G,H分别在线段,上,且满足,,设,,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11．已知空间直角坐标系中,点A的坐标为,坐标原点为O,且与方向相反,则( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知空间向量，，若，则________.
13．已知空间向量，，若，则__________.
14．已知，向量，，若，则________.
15．在平行六面体中，若，则____________.
四、解答题
16．若,,三点共线,则___________．
17．在直四棱柱中，，，，，于点E，分别建立如图1、图2所示的空间直角坐标系，分别写出图中四棱柱各顶点的坐标.
18．如图，在平行六面体中，.P，M，N分别是的中点，点Q在上，且.用空间的一个基底表示下列向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
19．求证：以为顶点的三角形是等腰直角三角形.
20．如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：对于A选项，假设、、共面，
则存在、使得，
所以，，无解，
所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底；
对于B选项，因为，
则、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底；
对于C，因为，
所以，、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底；
对于D，，
则、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底.
故选：A.
2．答案：A
解析：因为向量，，
则，，
，
所以向量在向量上投影向量为
故选：A．
3．答案：A
解析：由
可得，
解得.
故选：A.
4．答案：B
解析：对于A,由于基底向量不能是零向量,故A错误,
对于B,由于与,不共面,符合基底要求,故B正确,
对于C,,故,,共面,不符合要求,C错误,
对于D,,故,,共面,不符合要求,D错误,
故选：B.
5．答案：B
解析：因为向量，，
且，所以，
即，
解得：.
故选：B
6．答案：D
解析：空间向量,,
所以.
故选：D.
7．答案：C
解析：因为,
.
所以.
故选:C
8．答案：C
解析：以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，
故.
故选：C.
9．答案：BD
解析：由题意可知,,故A错误;
,故B正确;
,,,故C错误;
,故D正确.
故选:BD
10．答案：AD
解析：由已知可得,,,,.
对于A,,故A项正确;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C项错误;
对于D,,故D项正确.
故选:AD.
11．答案：ABD
解析：由题意,得：,
且,
其中,则,,,
则：,即选项A正确;
,即选项B正确;
,即选项C错误;
,即选项D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为，
所以，解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：空间向量，，
则，解得
故答案为：
14．答案：
解析：由得，，
解得，所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：如下图所示，有.
又因为，
所以
解得
所以=.
16．答案：0
解析：,,
因为,,三点共线,
所以,
即存在唯一实数,使得,
即,
所以,所以．
17．答案：图1，，，，
图2，，，，，，，，
解析：解：如图1，以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
因为，，所以且.
又，于点E，所以，则，.
过点B作轴于点H，由，
易得，且，，，
又，故，，，.
如图2，以E为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，.
18．答案：(1)
(2)
(3)
(4)
解析：(方法一)(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
(方法二)(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
19．答案：见解析
解析：证明：，
.
.
.
.
又为等腰直角三角形.
20．答案：见解析
解析：分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如答图所示.
设正方体的棱长为1，则，
，
，
.
又CM与的夹角为锐角，与的夹角余弦值为.

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