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3.3 正态分布 练习
一、选择题
1．安徽省某市石斛企业2024年加入网络平台直播后，每天石斛的销售量（单位：盒），估计300天内石斛的销售量约在1950到2050盒的天数大约为( )
（附：若随机变量，则，，）
A.205 B.246 C.270 D.286
2．已知随机变量，为使在内的概率不小于0.9545（若，则)，则a的最小值为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
3．已知随机变量服从正态分布,且,则( )
A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2
4．已知随机变量X服从正态分布,若,则( )
A. B. C. D.
5．某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试,经统计发现,数学成绩近似服从正态分布,已知数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同,那么估计本次考试的数学平均分为( )
A.85 B.90 C.95 D.100
6．已知三个正态密度函数（,）的图像如图所示,则( )
A., B.,
C., D.,
7．已知随机变量X服从正态分布,,则( )
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
8．已知随机变量服从正态分布,,则( )
A.0.21 B.0.58 C.0.42 D.0.29
二、多项选择题
9．为夯实科技支撑，打造高水平“天府粮仓”，推动农业科技园区高质量发展，遂宁国家农业科技园区在射洪市青岗镇文化村建设酿酒专用粮品种繁育中试熟化基地，在高产示范片中选择3个高粱品种代表性地块进行挖方测产.经统计了解得到该优良品种高粱的亩产量的样本期望（单位：千克），样本标准差，已知该园区未改良前原品种高粱的亩产量X服从正态分布，假设改良后新品种高粱的亩产量Y服从正态分布，[若随机变量Z服从正态分布，则]，则( )
A. B.
C. D.
10．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯,又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试,其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布,且,,则( )
A. B.
C. D.
11．随机变量X服从正态分布，若，则( )
（若随机变量X服从正态分布，则）
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知随机变量X服从正态分布,且,则________.
13．设随机变量,若,则_______________.
14．某工厂生产的一批零件的尺寸X服从正态分布,且,规定零件的尺寸与20的误差不超过2即为合格,现从这批零件中抽取360件,估计合格零件的个数为_______个.
15．某公司生产的糖果每包标识质量是,但公司承认实际质量存在误差.已知糖果的实际质量X服从的正态分布.若随意买一包糖果,假设质量误差超过5克的可能性为p,则的值为_____________.（用含p的代数式表达）
四、解答题
16．某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节.
(1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为.经解题思路，X近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差s作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率；
(2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分.连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束.
①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为，求；
②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）.
（参考数据：，，.
17．零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘米）
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
(1)分别求，的值；
(2)试估计这批零件直径在的概率；
(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数.
参考数据：；若随机变量，则，，.
18．一建筑工地需要的钢筋的长度（单位：m）服从正态分布，其中，.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长度不到，他应该让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋，还是让钢筋工停止加工以检查钢筋切割机？
19．已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的,每包牛肉干的质量（单位:g）服从正态分布,且.
（1）若从公司销售的牛肉干中随机选取3包,求这3包中恰有2包质量不小于248g的概率;
（2）若从公司销售的牛肉干中随机选取K（K为正整数）包,记质量在内的包数为X,且,求K的最小值.
20．若随机变量X服从正态分布，且，求.
参考答案
1．答案：A
解析：由，所以，
所以销售量约在1950到2050盒的概率为，
所以由可知大约有205天.
故选：A.
2．答案：C
解析：若随机变量，则，，，
为使在内的概率不小于0.9545，则，
解得，即a的最小值为32.
故选：C.
3．答案：C
解析：因为随机变量服从正态分布,,所以,
故,
所以,
故选：C.
4．答案：C
解析：因为,所以,
又,所以.
故选：C.
5．答案：C
解析：由正态密度曲线的对称性,数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同,
所以,
故选：C.
6．答案：C
解析：由题图中的对称轴知：,
与(一样)瘦高,而胖矮,
所以.
故选：C.
7．答案：A
解析：因为随机变量X服从正态分布,,
所以,
.
故选：A.
8．答案：D
解析：,
.
随机变量服从正态分布
,
曲线关于对称,
.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：由题意可知，X服从正态分布，
Y服从正态分布，
，
所以
，
，故A正确，B正确；
，所以C错误，D正确.
故选：ABD
10．答案：ACD
解析：选项A：由,得,故A正确;
选项B：由,得,故B不正确;
选项C：由于随机变量X服从正态分布,该正态曲线的对称轴为直线：,
所以,故C正确;
选项D：解法一：由于随机变量X,Y均服从正态分布,且对称轴均为直线：,
,所以在正态曲线中,Y的峰值较高,正态曲线较“瘦高”,
随机变量分布比较集中,所以,故D正确.
解法二：因为,,
所以,
故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：对于B，由
可得，解得，故B正确；
对于A，因,而，故A错误；
对于C，因,故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
12．答案：0.75/
解析：由已知可得,
根据正态分布的对称性可知.
又,所以.
故答案为:0.75.
13．答案：4
解析：由正态分布可知,故.
故答案为：4.
14．答案：240
解析：因为X服从正态分布,且,
则,
因此,从这批零件中抽取360件,估计合格零件的个数为.
故答案为:240.
15．答案：
解析：由题知,,
则
.
故答案为：.
16．答案：(1)0.1359；
(2)①；②50001元
解析：（1）由题意知，
则.
（2）①由题知，累计获得n分时有可能是获得分时掷骰子点数小于等于4或获得分时掷骰子点数大于4，而掷骰子点数小于等于4的概率为，掷骰子点数大于4的概率为.
，
则，
故为等比数列.
由，，故首项为.
因此，，……，，
将所有等式相加得，
所以，
当时，
综上.
②
元.
即估计游戏奖励的预算资金为50001元.
17．答案：(1)，；
(2)0.8186;
(3)1637.
解析：（1）由平均数与方差的计算公式分别得：
.
.
故，.
（2）设表示零件直径，则，即.
，
由对称性得，，即.
同理，，
，即.
.
故这批零件直径在的概率为0.8186.
（3）由（2）知，，
所以在这2000个零件中，零件的直径在的有个.
18．答案：应让钢筋工停止加工以检查钢筋切割机
解析：因为钢筋的长度服从正态分布，
所以钢筋长度在内，即内取值的概率约为0.9974，
则钢筋长度在之外的概率只有0.003.
而，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，
因此应让钢筋工停止加工以检查钢筋切割机.
19．答案：（1）0.243
（2）2001
解析：（1）由题意知每包牛肉干的质量M（单位:g）服从正态分布,且,
所以,
则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为.
（2）因为,所以,
依题意可得,所以,
因为,所以,,
又K为正整数,所以K的最小值为2001.
20．答案：
解析：因为，
所以，
所以，
所以.

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