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2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学高二下学期第二次学情调研数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若事件与事件相互独立，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是( )
A. 曲线是方程的解
B. 不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解
C. 凡坐标不满足方程的点都不在曲线上
D. 以方程的解为坐标的点都在曲线上
3.某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是( )
A. 越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大
B. 该物理量在一次测量中大于的概率为
C. 该物理量在一次测量中小于与大于的概率相等
D. 该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
4.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列两个命题：
命题：和之间存在唯一的“隔离直线”；
命题：和之间存在“隔离直线”，且的最小值是( )
A. 命题、命题都是真命题 B. 命题为真命题，命题是假命题
C. 命题为假命题，命题是真命题 D. 命题、命题都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.抛物线的准线方程为 ．
6.已知
7.的展开式中，项的系数为 ．
8.某次比赛中，名评委对选手表现进行百分制打分，将选手的个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，个剩余分数的平均分为现场工作人员做了个分数的茎叶图，后来一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示见下图，则的值为 ．
9.某工厂为了对个零件进行抽样调查，将其编号为，，，，现要从中选出个，利用下面的随机数表，从第一行第列开始，由左至右依次读取，选出来的第个零件编号是 ．


10.已知随机变量服从二项分布，若，，则 ．
11.在一个不透明的盒中装着标有数字，，，的大小与质地都相同的小球各个，现从该盒中一次取出个球，设事件为“取出个球的数字之和大于”，事件为“取出的个球中最小数字是”，则 ．
12.我校去年月份，高二年级有人参加了赴日本交流访问团，其中人只会唱歌，人只会跳舞，其余人既能唱歌又能跳舞．现要从中选人上台表演，人唱歌，人跳舞，有 种不同的选法
13.设点在直线上，点在函数的图象上，则的最小值为 ．
14.已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ．
15.已知在上不单调，则实数的取值范围是 ．
16.已知椭圆的右焦点为，，在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
假定某同学每次投篮命中的概率为，
若该同学投篮次，求恰好投中次的概率；
该同学现有次投篮机会，若连续投中次，即停止投篮，否则投篮次，求投篮次数的概率分布及数学期望．
18.本小题分
已知函数的图象过，在处的切线方程为．
求函数的解析式；
若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为公里，为全程马拉松距离的一半．世纪年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄结论精确到个位；
现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率；
若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差．
20.本小题分
已知椭圆的短轴长为，左、右焦点分别为、，且当点在上移动时，的最大值为直线与椭圆交于不同的两点、，与圆相切于点．
求椭圆的方程；
证明：其中为坐标原点；
设，求实数的取值范围．
21.本小题分
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数已知函数．
当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
若，求的极值差比系数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.或
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.令投中次的概率为，
则；
的可能取值为、、，
，
，
，
故的概率分布为：
其数学期望．
18.解：由，得，
因为在处的切线方程为，
所以，，
所以，
因为函数的图像过，
所以，所以解得，
所以，
令，则
，令，即，得或，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，，
所以的最小值为
要不等式在区间上恒成立，只要在区间上恒成立，
所以只要，所以，
所以实数的取值范围为
19.岁．
由题意得，第四组应抽取人，记为甲，，，，
第五组应抽取人，记为乙，，对应的样本空间为：
，
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，
则，
所以．
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，
，
据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为，方差为．
20.，可得，
当点位于椭圆的短轴端点时，取最大值，此时是等腰直角三角形，
所以，，，因此，椭圆的方程为；
由于直线与圆相切，则，可得，
设点、，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
，
因此，；
，，，
由知，，则，可得，
，
，．
因此，实数的取值范围是．
21.当时，，
则
当时，，当，，
所以在和上严格递增，在上严格递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，所以是极值差比函数．
的定义域为，，
假设存在使的极值差比系数为，
则，是方程的两个不相等的正实数根，
则，解得，不妨设，则，
因为
，
所以，从而，得
令，，
所以在上是严格增函数，所以，
因此无解，所以不存在使的极值差比系数为；
由知极值差比系数为，即，
不妨设，令，，极值差比系数可化为，
，又，解得，
令，，
设，，
所以在上单调递减，当时，，
从而，所以在上单调递增，所以，
即，
所以的极值差比系数的取值范围为．

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