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2024-2025学年辽宁省沈阳市第一二0中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式中一定成立的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知变量之间的线性回归方程为且变量之间的一组相关数据如图所示，则下列说法错误的是( )
A. 变量，之间呈负相关关系 B. 可以预测，当时，
C. D. 该回归直线必过点
6.已知函数在上的最大值、最小值分别为，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在等比数列中，，是函数的极值点，则( )
A. B. C. D.
8.设，，，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若的定义域为，则的定义域为
B. 表示同一个函数
C. 函数的值域为
D. 函数满足，则
10.下列说法正确的是( )
A. 函数的最小值为
B. 已知正实数满足，则的最大值为
C. 已知正实数满足，则的最小值为
D. 设为实数，若，则的最大值为
11.已知数列满足，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为等差数列的前项和，，则 ．
13.设函数，若，则 ．
14.若在曲线为自然对数的底数存在点，使其关于轴的对称点在曲线上，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的图象在点处的切线方程；
若为函数的导函数，求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知等差数列满足是关于的方程的两个根．
求．
求数列的通项公式．
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知数列满足．
证明：数列为等差数列；
设，记数列的前项和为．
求；
若成立，求的取值范围．
18.本小题分
在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现正面的概率为，且，每次掷游戏币的结果相互独立．
当时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率；
若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷次．
甲在一轮游戏中恰好投掷了次游戏结束的概率为，求的表达式；
设甲在一轮游戏中投掷次数为，求的最大值．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调区间；
若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数的最大值；
若为函数的极值点，求证：．
参考答案
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13.
14.
15.，，，
则有，化简得，
即的图象在点处的切线方程为；
，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值，
又，，
故在区间上的最大值和最小值分别为、．
16.数列是等差数列，设公差为，
由根与系数关系得，
于是有，则，
故，则；
由知，故，
由根与系数关系知；
由得，
所以
17.因为，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
由知，
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
所以．
因为，
所以，
令，
不妨设的第项取得最大值，
所以，解得，
所以的最大值为，
所以，即的取值范围是．
18.设事件表示第次正面向上，其中且，，
设事件：“至少出现一次正面向上”．
设事件：“恰好投掷了次游戏结束”，则．
故
．
所以．
由题意知，
，
，
．
．
则．
令，，
当时，，即在上单调递减，故，
因此，的最大值为．
19.，定义域为，
所以，
当时，，故在上单调递增，
当时，由，得；由，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
因为，曲线在处的切线垂直于直线，
则在处的切线的斜率为，即，解得：，
则．
对任意恒成立，即对任意，
即对任意恒成立，
令，
，令，得，
当时，，为减函数；
当时，，为增函数；
，
，则实数的最大值．
函数，
因为为函数的极值点，所以，所以，
要证明不等式：成立，只需证，
令，
当时，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即，所以，
当时，因为，所以．
当时，因为，所以，所以，
要证成立，只需证，
即证对成立．
令，因为，
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以，即时，成立．
综上所述，原不等式成立．
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