资源简介

2024-2025学年吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学高二下学期5月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数，则的值为( )
A. B. C. D.
2.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
3.抛物线在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D.
4.某中学派名教师到，，，，五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区，决定派教师甲到山区，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用局胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了局的概率为( )
A. B. C. D.
6.设某医院仓库中有盒同样规格的光片，其中有盒、盒、盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．若甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为、、，现从这盒中任取一盒，则取得的光片是次品的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量服从二项分布若，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式的第项与第项系数的和为，则( )
A. B. 展开式的各项系数的和为
C. 展开式的各二项式系数的和为 D. 展开式的常数项为第项
10.下列说法中正确的是( )
A. 若随机变量，，则
B. 若随机变量，则期望
C. 已知随机变量的分布列为，则
D. 从名男生，名女生中选取人，则其中至少有一名女生的概率为
11.离散型随机变量的分布列如表所示，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从，若，则 ．
13.已知，则 ．
14.已知函数，，若对任意的，存在使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过元的概率分别为．
从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过元的概率；
若名消费者购买了单价不超过元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率结果用分数表示
16.本小题分
某企业举行招聘考试，共有人参加，分为初试和复试，初试成绩总分分，初试通过后参加复试．
若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于分的人数；精确到个位数
复试共三道题，每答对一题得分，答错得分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为，求的分布列及期望．
附：若随机变量服从正态分布，则：，．
17.本小题分
某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计道题进行测试，若这道题中，甲能正确解答其中的道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这道测试题中分别随机抽取题进行解答
求甲、乙共答对道题目的概率；
设甲答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
18.本小题分
为了研究新高考数学多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜．
求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率；
学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，“选两项”全对得分，选对一个得分，有错选得分，“选三项”全对得分，选对一个得分，对两个得分，有错选得分试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望．
19.本小题分
设函数．
若，当时，求证：；
若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取名消费者为男性为事件，
，
所以；
设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取名消费者为女性为事件，
，
则．

16.解：由学生初试成绩服从正态分布，其中，，得，
因此，
所以估计初试成绩不低于的人数为人
的可能取值为，，，，
则，，
，，
所以的分布列为：
数学期望为．

17.解：由题意得甲、乙两名学生共答对个问题的概率：
．
设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为，，．
，，．
的分布列为：
所以，．
设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，则．
所以，．
因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．

18.解：由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为．
记甲同学答一道多选题得分为，则，
；；，
所以甲同学得分的数学期望为．
记乙同学答一道多选题得分为，则，
；；，
所以乙同学得分的数学期望为．

19.解：令，则，
当有，即在单调递减，又，
所以，即，即，
所以当时，得证．
由，，可得，
令且，其开口向上且对称轴为，又，，
当时，，即，单调递增，则，
此时在上没有零点，不合题意；
当时，则，设使得，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
因为，要使在上存在唯一零点，则满足，解得，
当时，在上恒成立，即，在上递减，
所以，故在上没有零点，不合题意．
综上，实数的取值范围为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑