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2024-2025学年吉林省长春外国语学校高二下学期5月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为，若，则( )
A. B. C. D.
3.经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中环的概率为，在第一次击中环的条件下，第二次也击中环的概率为那么她两次均击中环的概率为( )
A. B. C. D.
4.若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.随机变量服从两点分布，若，则( )
A. B. C. 或 D.
6.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为，，，，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为，，，当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为( )
A. B. C. D.
7.国际高峰论坛上，组委会要从个国内媒体团和个国外媒体团中选出个媒体团进行提问，要求这个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国外媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )
A. B. C. D.
8.若函数在上单调递增，则实数的值不可能为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知，则可能取值为
B. 已知，则可能取值为
C. 在的二项式展开式中，常数项是
D. 在的二项式展开式中，所有二项式系数和为
10.如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则( )
A.
B. 当时，若同色，共有种涂法
C. 当时，若不同色，共有种涂法
D. 当时，总的涂色方法有种
11.已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.设离散型随机变量的分布列如下，若，则 ．
14.若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若
求；
求；
求．
16.本小题分
有个男生和个女生，从中选出人分别担任门不同学科的科代表要求每人只担任一科科代表，每科只有一名科代表，求分别符合下列条件的安排方法数．写出必要的数学式，结果用数字作答
有女生但人数必须少于男生；
女生甲一定担任语文科代表；
男生乙必须包括在内，但不担任语文科代表．
17.本小题分
已知的一个极值点为．
求的值；
求函数的单调区间；
求函数在区间上的最值
18.本小题分
某项人工智能新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立地通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记分、分、分，若某项指标不合格，则该项指标记分，各项指标检测结果互不影响．
求该项技术量化得分不低于分的概率；
记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
19.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若有两个极值点，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由，
令得：，
令得：，
所以；
再令得：，
因为，所以；
由，
等价于，
所以．
16.解：先选后排，人可以是女男，也可以是女男，
所以先选有种方法，后排有种方法，
所以共有不同选法种．
先在剩余的人中选出人，有种选法，然后排列，有种方法，根据分步乘法计数原理，即可得出共有不同选法种．
分步：
第一步，先安排不担任语文科代表的男生乙，有种方法；
第二步，然后从剩余的人中选出人，有种选法；
第三步，选出的人排列，有种方法．
根据分步乘法计数原理，共有不同选法种．
17.解：因为，所以，
的一个极值点为，
，解得，
经验证时，有极值点．
由，，
令，得或，
令，得；令，得或，
故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增．
由知，在上为增函数，在上为减函数，
是函数的极大值点，又，，，
函数在区间上的最小值为，最大值为．
18.解：设该项人工智能新技术的三项不同指标独立通过检测合格分别为事件，
则，
则可知该项技术量化得分不低于分为，
所以概率为．
所以该项技术量化得分不低于分的概率为．
由题意可知：的所有可能取值为，，，．
则，
，
，
，
所以随机变量的分布列
随机变量的期望．
19.解：由题得，其中，
令，，其中对称轴为，．
若，则，此时，则，所以在上单调递增；
若，则，
此时在上有两个根，，且，
当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
由知，当时，有两个极值点，，且，，
所以
．
令，，则，故在上单调递减，
所以，所以，即．

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