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2024-2025学年吉林省松原市乾安县G35 联合体吉林八校高二下学期5月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数是的导数，则( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
3.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
4.有本不同的书，全部分给个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，模型的准确率为，模型的准确率为，模型的准确率为已知选择模型，，的概率分别为，，现随机选取一个模型进行测试，则准确率为( )
A. B. C. D.
6.设，则中最大的是( )
A. B. C. D.
7.设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是( )
A. B. 数列无最大值 C. 是数列中的最大值 D.
8.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束若此时棋子在点处，则游戏过关试问游戏结束时过关的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则( )
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 是的极小值点 D. 是的极大值点
10.下列四个命题中为真命题的是( )
A. 已知，且，则
B. 个男同学，个女同学站成一排，任何两个女同学彼此不相邻，有种不同的排法
C. 二项式的展开式中的常数项是
D. 已知随机变量服从正态分布，若，则
11.为等差数列的前项和，公差，若，且，则( )
A.
B.
C. 对于任意的正整数，总存在正整数，使得
D. 一定存在三个正整数，，，当时，，，三个数依次成等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若从，，，，这五个数字中任取个偶数和个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 ．
13.已知，，，则 ．
14.赵爽是我国古代的数学家天文学家，大约在公元年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”第届国际数学家大会会标就是以“赵爽弦图”为基础进行设计的如图，四边形是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为，再以正方形为“小”正方形向外作“弦图”，得到正方形按此作法进行下去，记，，正方形的面积为若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为．
求的通项公式；
设，是数列的前项和，求．
16.本小题分
已知其中，且展开式中仅有第项的二项式系数最大．
求的值及二项式系数最大的项；
求用数值作答；
求的值用数值作答
17.本小题分
已知函数．
若函数在处取得极小值，求实数，的值；
已知，且函数的极大值是，讨论函数的零点个数．
18.本小题分
某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从个招标问题中随机抽取个问题，已知这个招标问题中，甲公司可正确回答其中道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
求甲、乙两家公司共答对道题目的概率；
设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
19.本小题分
对于函数，规定，，，，叫做函数的阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项．已知函数．
写出函数在处的阶泰勒展开式用表示即可；
设函数在处的阶余项为，求证：对任意的，；
求证：．
参考答案
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14.
15.中，令得，
当时，，
又适合上式，所以；
由知：，
所以．
16.由展开式中仅有第项的二项式系数最大可知为唯一的最大，故，
则第项为
令，则
令，则，与中两式求和，
故
17.因为，所以，
因为函数在处取得极小值，
所以，解得
此时，由，得到或，
当或时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取到极小值，符合题意．
所以．
，令，则或，
若，当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，
当时，函数取到极大值，即，所以，
当时，函数取到极小值，
即，
又当时，，当时，，
所以当，即时，有个零点；
当，即时，有个零点；
当，即时，有个零点．
18.记“甲、乙两家公司共答对道题”的事件为，它是甲乙各答对道题的事件、甲答对题乙没答对题的事件和，它们互斥，
则有，
所以甲、乙两家公司共答对道题目的概率是．
设甲公司答对题数为，则的取值分别为，
，
则的分布列为：
期望，方差．
设乙公司答对题数为，则的取值分别为，
，
，
则的分布列为：
期望，
方差，
显然，
所以甲公司竞标成功的可能性更大．
19.由题意，函数，且，
则，
，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
．
由可知，，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
，
其中，介于与之间的常数，
所以，
因为为常数项，且，
所以函数为偶函数，
因为，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以，
故对任意的，．
由可知，函数在处的阶泰勒展开式为
，
所以，
令，
则，
所以，
即．

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