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第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试
一、选择题
1．若，且，，则的最大值为( )
A. B.1 C. D.
2．已知,,,则的最小值是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3．已知A、B两地的距离是.根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在.假设油价是8元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是56元，那么最经济的车速是( ).
A. B.55 C.60 D.80
4．已知,,,则的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.9
5．已知实数a,b,c满足,,则a的最大值是( )
A. B. C. D.
6．已知,,且,若恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．已知x,y为正实数,,则的最小值为( )
A. B. C.2 D.
8．已知正实数m，n满足，则的最小值为( )
A. B.3 C. D.4
二、多项选择题
9．已知,,则下列结论正确的是( )
A.若,的最小值为9
B.若,的最小值为1
C.若,的最小值为
D.若,的最大值为
10．若,,,则( )
A. B.
C. D.
11．已知正实数a，b，c，且，x，y，z为自然数，则满足恒成立的x，y，z可以是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
三、填空题
12．若，，则实数m的取值范围为________.
13．函数的最小值为______________.
14．若,则的最小值为________________.
15．已知圆O的面积为,矩形的四个顶点均在圆O上,则矩形的面积最大值为______________.
四、解答题
16．(1)已知,,且,求的最小值;
(2)解关于x的不等式.
17．(1)已知,求的最大值;
(2)若正数x,y满足,求的最小值.
18．如图,设矩形的周长为,把沿AC向折叠,AB折过去后交DC于点P,设,.
(1)当时,求a的值;
(2)设的面积为S,求S的最大值.
19．已知,,且.
(1)求的最大值;
(2)求的最小值.
20．设函数（且）是定义在R上的奇函数.
(1)求t的值；
(2)若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；
(3)若函数的图像过点，求在上的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
2．答案：C
解析：因为,,,
所以,
当且仅当,即,时取等号.
故选:C
3．答案：C
解析：由题意可知，行车的总费用为
，
其中，
由基本不等式可得（元），
当且仅当时，
即当时，等号成立，
因此，经济的车速是.
故选：C.
4．答案：C
解析：由,得,
当且仅当时取等号得出最小值4,
故选:C.
5．答案：C
解析：因为,
所以,,
因为
所以
解得
所以a的最大值为
故选：C.
6．答案：B
解析：因为,,且,则,
所以,
当且仅当时,即当,时,所以的最小值为,
因为恒成立,所以,解得,
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
7．答案：B
解析：x,y为正实数,,,
又,
,
当且仅当,即,即,时取等号,
故当,时,取得最小值.
故选:B
8．答案：C
解析：根据题意，，可得，
则，
设，则，
原式为，
当且仅当时等号成立，
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A：若,则,
所以,
当且仅当时,即,时,等号成立,
所以的最小值为9,故A正确;
对于B：若,则,
所以,
当且仅当,即当或时,等号成立,
而,所以的最小值1不存在,故B错误;
对于C：若,则,
所以,
由,,以及可知,,
则当时,即,时,
有最小值为,故C正确;
对于D：因为
,设,则,
又,
当且仅当时,即时,即时,等号成立,
所以,故D正确;
故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：,,,
,
所以,
,
所以,所以,
所以B、C、D正确,A错误.
故选：BCD.
11．答案：BC
解析：要满足，只需满足，其中a，b，c为正实数，且，x，y，z为自然数，
，
当且仅当，
即时，等号成立，
故只需，故只需即可.
A选项，，，时，，A错误；
B选项，，，时，，B正确；
C选项，，，时，，C正确；
D选项，，，时，，D错误.
故选BC.
12．答案：
解析：由，可得，
因为，，故只需，
令，则，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.
13．答案：4
解析：因为,
所以,
当且仅当时取等号,此时,即函数的最小值是4.
故答案为：4.
14．答案：4
解析：因为,则,当且仅当时,等号成立,
故答案为：4.
15．答案：32
解析：设圆的半径为r,则,解得,
设矩形的长为a,宽为b,
因为矩形的四个顶点均在圆O上,
所以,
所以,
因为,当且仅当时取等号,
所以,当且仅当时取等号,
所以矩形的面积最大值为32.
故答案为：32.
16．答案：(1);
(2)答案见解析
解析：(1)因为,所以得,即,
所以.
因为,所以.
当且仅当,即时,即,时,等号成立;
此时;
(2)当时,,解集为,
当时,,
①当时,,解集为;
②当时,,解集为;
③当时,解集为;
④当时,,解集为.
综上所述：时,解集为;时,解集为;时,解集为;时,解集为;时,解集为.
17．答案：(1)1;
(2)4
解析：(1)由于,所以,
所以
,
当且仅当,,时等号成立,
所以的最大值为1.
(2)依题意,正数x,y满足,
所以,
所以,
当且仅当,时等号成立,
所以的最小值为4.
18．答案：(1)5
(2)
解析：(1)如图,由矩形的周长为24cm,
可知,,
,,
,.（说明得到也可）
在中,由勾股定理得,即,解得.
(2)如图,由矩形的周长为24cm,
可知,,
,,
,
.
在中,由勾股定理得,即,
解得,
所以.
所以的面积为.
由基本不等式与不等式的性质,得,
当且仅当时,即当时,的面积最大,
面积的最大值为.
19．答案：(1)3
(2)
解析：(1)由,得,当且仅当时,等号成立.
故的最大值是3.
(2)由,得,即.
,
当且仅当,即,时,等号成立.
故的最小值为.
20．答案：(1)
(2)
(3)答案见解析.
解析：(1)是定义在R上，
，解得.
(2)由(1)得，
若，则，结合且，解得，
时，函数为增函数，函数为减函数，
则为单调递增函数，
等价于，
可得，
依题意则有对一切恒成立，
则，解得
即实数k的取值范围为
(3)函数的图像过点，
，结合且，解得，
，
设，
由(2)知为单调递增函数，
所以当时，，
记，，
当，即时，
在上单调递减，；
当，即时，
在上单调递减，
在上单调递增，；
当，即时，在上单调递增，
；
所以当时，最小值为；
当时，最小值为；
当时，最小值为.

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