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第3章函数的概念与性质 单元测试
一、选择题
1．令定义在R上的非常数奇函数的表达式为，且，则的值为( )
A. B. C. D.4
2．若函数是定义在R上的奇函数,,则( )
A.0 B.1 C. D.e
3．函数的值域是( )
A.R B. C. D.
4．1837年，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet，1805—1859）认为“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数.”此外，他还给出了“狄利克雷函数”：自此，人们对函数的本质有了深刻的理解，设则（ ）
A.1 B.0 C. D.
5．已知,则( )
A.e B.2e C. D.
6．已知定义在R上的函数满足对任意的,,,则( )
A. B.0 C.2 D.1
7．某跳水运动员离开跳板后,他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米,时间单位：秒）,则他在0.5秒时的瞬时速度为( )
A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒 D.2.75米/秒
8．若函数是奇函数,则( )
A.1 B. C. D.
二、多项选择题
9．设是R上的奇函数,且对都有,当时,,则下列说法正确的是( )
A.的最大值是1,最小值是0 B.当时,
C.点是函数的对称中心 D.在区间上是增函数
10．已知函数,下列结论正确的是( )
A.是奇函数
B.若在定义域上是增函数,则
C.若的值域为R.则
D.当时,若,则
11．设均是定义在R上的函数,下列说法正确的是( )
A.若,,均是定义域上的增函数,则,,中至少有一个函数是定义域上的增函数
B.若,,均在定义域内存在最小值,则,,中至少有一个函数在定义域内存在最小值
C.若,,均是定义域上的奇函数,则,,均是定义域上的奇函数
D.若,,均是以为周期的周期函数,则,,均是以T为周期的周期函数
三、填空题
12．已知函数，的最小值是，则实数________.
13．已知函数,则不等式的解集是________.
14．某个体户计划同时销售A,B两种商品,当投资额为x千元时,在销售A,B商品中所获收益分别为千元与千元,其中,,如果该个体户准备共投入5千元销售A,B两种商品,为使总收益最大,则B商品需投_______________千元.
15．已知函数若,则________.
四、解答题
16．设函数,.
(1)解方程：;
(2)令,求的值
(3)若是实数集R上的奇函数,且对任意实数x恒成立,求实数k的取值范围.
17．已知函数（,,）是定义在上的奇函数.
（1）求和实数b的值;
（2）当时,若满足,求实数t的取值范围;
（3）若,问是否存在实数m,使得对定义域内的一切t,都有恒成立
18．已知定义域为R的函数为奇函数,且满足,当时,,求.
19．已知指数函数的图象过点,为奇函数.
(1)求的解析式;
(2)判断的单调性,并用定义法证明;
(3)若不等式对任意的恒成立,求k的取值范围.
20．已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)利用定义法证明函数是增函数;
(3)已知,当且仅当时,等号成立.设,证明：存在唯一的正实数,使得.
参考答案
1．答案：A
解析：函数是R上的非常数奇函数，
则，解得，
，，
而不恒为0，因此，
即，又x不恒为0，则，解得，
经验证，当，时，
是奇函数，所以.
故选：A.
2．答案：B
解析：由函数是定义在R上的奇函数,
得,
解得.
故选：B.
3．答案：B
解析：当时,,即;
当时,;当时,.
综上可知,的值域为.
故选：B.
4．答案：B
解析：因为为无理数，所以，
所以.
故选：B.
5．答案：D
解析：令,则,所以,即,
则
故选:D.
6．答案：C
解析：因为对任意的,,,
令,,则,即;
令,,则,即;
可得,
令,则,解得.
故选：C.
7．答案：C
解析：函数关系式是
,
在秒的瞬时速度为
故选：C．
8．答案：B
解析：由于函数是奇函数,
故时,,则,
故,
故选:B
9．答案：BD
解析：因为是R上的奇函数,所以,
又对都有,所以的图象关于对称,
因为,即,所以,
所以是周期为4的周期函数,
又当时,单调递增,所以在上单调递增,
则在上单调递增,由的图象关于对称,
得在上单调递增,所以在上的最大值是,
最小值是,故A错误;
当时,,则,故B正确;
由对都有,得的图象关于对称,故C错误;
由在上单调递增,且周期为4,则在区间上是增函数,故D正确;
故选:BD
10．答案：AB
解析：对于A,由题函数定义域为,关于原点对称,
当时,,,;
当时,,,,
则函数为奇函数,故A正确;
对于B,若在定义域上是增函数,则,即,故B正确;
对于C,当时,在区间上单调递增,此时值域为,
当时,在区间上单调递增,此时值域为.
要使的值域为R,则,即,故C不正确;
对于D,当时,由于,则函数在定义域上是增函数,
又函数是奇函数,故由,得,
则,且,且,
解得,故D不正确.
故选:AB
11．答案：CD
解析：对于A,设,,,
则,,,
满足条件,,均是定义域上的增函数,
但函数,,在定义域上都不是增函数,A错误;
对于B,设,,,
则,,,
此时若,,均在定义域内存在最小值0,
但函数,,在定义域内都没有最小值,B错误;
对于C,因为,均是定义域上的奇函数,
所以,
两式相减可得,
又为奇函数,故,
所以,即,
故,
所以函数均是定义域上的奇函数,C正确;
对于D,因为,均是以T为周期的周期函数,
所以,,
两式相减可得,
又是以T为周期的周期函数,故,
所以,即,
故,,
所以函数,,均是以T为周期的周期函数,D正确;
故选:CD.
12．答案：
解析：由题意得，当时，，
故在的值域为，
又因为最小值是，所以，
故答案为.
13．答案：
解析：由,在R上都单调递减,且都是奇函数,
所以是单调递减的奇函数,
故,则,即,
所以不等式的解集为.
故答案为:
14．答案：
解析：设投入经销B商品x千元,则投入经销A商品的资金为千元,所获得的收益千元,
则,
可得,
当时,可得,函数单调递增;
当时,可得,函数单调递减;
所以当时,函数取得最大值,最大值为.
故答案为：.
15．答案：8
解析：,
所以,
因为时,,
所以,,解得,
故答案为:8
16．答案：(1)
(2)9
(3)
解析：(1)因为,,,
所以,即,即,
解得,或（舍）,所以.
(2)由,
则,
故.
(3)由题知
因为是实数集R上的奇函数,所以,所以,解得,
所以,又因为,所以,即
解得.
即,经检验是实数集R上的奇函数,
所以,在实数集R上单调递增.
由得,
又因为是实数集上的奇函数,所以,
又因为在实数集上单调递增,所以,
即对任意的都成立,
即对任意的都成立,
因为,当且仅当时取等号,
所以.
17．答案：（1）,
（2）
（3）存在
解析：（1）依题意,,
又是上的奇函数,则,即,
亦即,整理得,于是,而,
所以.
（2）由（1）知,,
显然函数在上单调递减,
由奇函数性质及,得,
当时,函数在上单调递增,则在上单调递减,
不等式化为,解得,
（3）假定存在实数m,对定义域内的一切t,都有恒成立,
即恒成立,
当时,由（2）知函数在上单调递增,
不等式化为,整理得,
于是有对任意恒成立,则,
当时,,,因此;
有对任意恒成立,设,
①当时,函数的图象开口向上,对称轴,
（i）当,即时,必有,则;
（ii）当,即时,在上恒成立,则;
（iii）当,即时,在上恒成立,则;
②当时,,不满足在上恒成立,
综上得且,
所以存在使得对定义域内的一切t,都有恒成立.
18．答案：
解析：因为,所以,
所以的周期为4,
所以
,
因为函数为奇函数,
所以,
因为,所以,
所以.
19．答案：(1)
(2)函数是增函数,证明见解析
(3)
解析：(1)设且,
由,解得,
所以,
则,
因为为奇函数,
所以,即,解得,
经检验,符合题意,
所以;
(2)函数是增函数,证明如下：
令,
则
,
因为,所以,
所以,即,
所以函数是增函数;
(3),
即为,
因为函数是增函数,
所以,即,
令,,
则对于任意的恒成立,
所以,解得,
所以k的取值范围为.
20．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由题意,则由可知,,解得,
所以不等式的解集为.
(2),
因为,所以,,,
所以,即,
故函数是增函数.
(3)令,则,故,
因为,当且仅当时,等号成立,
所以,令,
由(2)知函数是增函数,且,,
故存在唯一的正实数,使得,即.

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