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第4章 幂函数、指数函数和对数函数 单元测试
一、选择题
1．若幂函数,则( )
A. B. C.2 D.1
2．函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
3．函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
4．已知,,则( )
A. B. C.1 D.
5．已知函数.下列区间中包含零点的是( )
A. B. C. D.
6．某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算.
享受折扣的购物金额 折扣优惠
超过600元不超过1200元的部分
超过1200元的部分
李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为( )
A.1600元 B.1540元 C.1400元 D.1340元
7．方程的根所在的区间为( )
A. B. C. D.
8．若函数在区间上有且仅有5个零点,则取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．函数（,且）恰有两个零点,则a可以是( )
A.2 B. C. D.
10．函数的零点所在区间不可能是( )
A. B. C. D.
11．已知,,则的值可能为( )
A. B. C.24 D.
三、填空题
12．________.
13．函数的定义域为____________.
14．____________.
15．幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式________.
四、解答题
16．已知函数（且）的图象过点.
（1）求函数的解析式;
（2）解不等式.
17．茶是中华民族的举国之饮,发于神农,闻于鲁周公,始于唐朝,兴于宋代,中国茶文化起源久远,历史悠久,文化底蕴深厚,是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯,这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示,茶水的口感与水的温度有关.经实验表明,用的水泡制,待茶水温度降至时,饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》,某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间 0 1 2 3 4 5
水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从经过后温度变为,现给出以下三种函数模型：
①;
②;
③.
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型,并根据前3组数据求出该解析式;
(2)根据(1)中所求函数模型,求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）;
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实,求进行实验时的室温约为多少.
18．如图，某校有一块形如直角三角形的空地，其中为直角，长40米，长50米现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，P在边AC上，求该健身房的最大占地面积.
19．比较下列各组数中两个数的大小：
(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
20．已知函数为奇函数.
（1）求a的值;
（2）若,求不等式的解集.
参考答案
1．答案：A
解析：根据幂函数定义可知,,解得.
故选：A.
2．答案：A
解析：由,得,,
,,,
因为,所以函数的零点所在区间为.
故选：A.
3．答案：B
解析：易知单调递增;
,
所以零点所在区间为,
故选：B.
4．答案：D
解析：由,得,而,则,
所以.
故选：D.
5．答案：B
解析：函数,
当时,,,则,,
,,因此在区间内有函数的零点,
当时,,,
当时,,,
所以数的零点在区间内.
故选：B.
6．答案：D
解析：设李女士在商场购物的总金额为x元，
由题意可得：，
则，
解得，
即她实际所付金额为元.
故选：D
7．答案：C
解析：令,
故函数为定义在R上的连续函数,且显然为增函数,
因为,,,
由零点存在定理可知,方程的根所在的区间为.
故选:C.
8．答案：D
解析：由,,得,,
所以函数在上由小到大的第5个零点为,
第6个零点为,
由题知,,解得,
故选：D.
9．答案：CD
解析：令,即,
因为函数恰有两个零点,
则函数和有2个交点.
当时,画出函数,的图象,如下图：
由图可知,要使函数和有2个交点,
则,解得;
当时,画出函数,的图象,如下图：
由图可知,要使函数和有2个交点,
则,解得,不符合题意.
综上所述,a的取值范围为.
故选：CD.
10．答案：ACD
解析：由可知函数的定义域为,函数在定义域上单调递减,
对于A,因,,则,故函数在区间上无零点,故A符合题意;
对于B,因,,则,故函数在区间上有零点,故B不符合题意;
对于C,因,,则,函数在区间上无零点,故C符合题意;
对于D,因,,则,故函数在区间上无零点,故D符合题意.
即函数的零点所在区间不可能是ACD.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：由题意得,,
则时,,同理时,
故选：BC.
12．答案：2
解析：原式，故答案为2.
13．答案：或
解析：要使得函数有意义,则,即,
解得或.故的定义域：或.
故答案为：或.
14．答案：18
解析：.
故答案为：18.
15．答案：或(答案不唯一)
解析：幂函数在上是减函数，设，则，
因为有很多解，如、、、等均符合题意.
故答案为：或(答案不唯一).
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为函数（且）的图象过点.
,所以,即;
（2）因为单调递增,所以,
即不等式的解集是.
17．答案：(1)选模型②,且
(2)
(3)约为10℃
解析：(1)由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢,故模型①③不符合,
选模型②,则,即,可得,
所以且.
(2)令,则.
所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为.
(3)由,即,所以进行实验时的室温约为.
18．答案：500
解析：如图，设矩形为，长为x米，
其中，健身房占地面积为y平方米，
因为，
所以，即，
求解，
从而
，
当且仅当时，等号成立，
即该健身房的最大占地面积为500平方米.
19．答案：(1);
(2);
(3);
(4).
解析：(1)因为函数在R上单调递增,且,所以,综上所述：;
(2)因为函数在R上单调递减,且,所以,综上所述：;
(3)因为函数在R上单调递减,且,所以,综上所述：;
(4)因为函数在R上单调递减,且,所以,综上所述：;
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由为奇函数,得,
代入计算可得.
（2）由（1）可得,,令,
由在上单调递减,在上单调递减,
所以在上单调递增,
又在上也单调递增,
所以在上单调递增,
由的定义域为得,,
所以的定义域为,
又,则,
则可转化为,
因为在上单调递增,
所以,解得,即不等式的解集为.

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