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高二复习卷·2025
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看哪吒，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为( )
A. B. C. D.
4.已知的展开式中的系数为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，为的导函数，则
曲线在处的切线方程为；
在区间上单调递增；
在区间上有极小值；
在区间上有两个零点，
上述个结论中，正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知函数，则在区间上的最大值为( )
A. B. C. D.
7.下列求导错误的是( )
A. B.
C. D.
8.曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
9.某射手射击所得环数为的概率分布如下表所示，此射手“射击一次命中环数不小于”的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
10.已知为等差数列，为它的前项和，若，则 ．
11.设、为两个事件，已知，，则 ．
12.在的展开式中，常数项为 ．
13.已知曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，则 ，切线方程为 ．
14.已知双曲线的右焦点为，离心率为，直线与双曲线交于，两点，且，则 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值．
16.本小题12分
已知函数．
判断函数的单调性，并求出函数的极值；
求函数在区间上的最大值与最小值；
求出方程的解的个数．
本小题12分
某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，指标甲、乙、丙检测合格分别记分、分、分，若某项指标不合格，则该项指标记分，各项指标检测结果互不影响．
求该项技术量化得分不低于分的概率；
记该技术的兰个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
18.（本题12分）
如图，在直三棱柱中，，是棱的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
本小题12分）
已知函数．
Ⅰ当时，取得极值，求的解析式；
Ⅱ在Ⅰ的条件下，求函数的单调区间及极值；
Ⅲ若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题12分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
求证：；
已知数列满足，求的通项公式．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】．
16.【答案】解：因为函数的定义域为且，
当时解得，列表得
单调递减 极小值 单调递增
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值为，没有极大值；
由可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
由，，，
因此，，
因为当时，时，且时，
所以当时，有个解，
当或时，有个解，
当时，有个解．

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：设该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过量化检测合格分别为事件，，，
“该项技术量化得分不低于分”表示为，又与为互斥事件，且，，相互独立，
；
该技术的三个指标中被检测合格的指标个数随机变量的取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列为：


．
18.【答案】解：
证明：根据题意，建立以为原点，
分别以的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
因为侧棱的长为，
所以，
因为是棱的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，得，令，得，
所以，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
设平面与平面的夹角为，
由得平面的一个法向量为，
由于平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为；
由得平面的一个法向量为，，
所以，
所以点到平面的距离为．
所以点到平面的距离为．
19.【答案】解：Ⅰ因为所以，
当时，取得极值，
得解得，所以的解析式为．
Ⅱ，时，，函数定义域为，，
令解得：或，当变化时，
，的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
时，有极大值，时，有极小值．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，的极大值为，极小值为．
Ⅲ时，在上恒成立，即在区间恒成立．
设，，则，令，解得，
当变化时，，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，即，所以的取值范围为．
20.【答案】解：当时，，可得，有，
当时，，
则，
有，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为：；
证明：由知，
则
，
由于，所以，
所以；
因为，
，
，
，
，

，
，
累加得：
故
故，
，
两式相减得：
，
即，也适合，
故．

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