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答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】（0，1）
14．【答案】4；2
15．【答案】（1） ，
又由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ．
（2）∵ ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ 解得 ．
16．【答案】（1）；（2）①；②.
17．【答案】（1）
（2）
18．【答案】（1）；
（2）单调减区间为；对称轴方程为和
19．【答案】（1）证明：在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以；
（2）解：①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，
在圆台中，平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
又由（1）可知，所以，
又因为，，，，，平面，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
因为在圆台中，，，
所以，所以，
所以，所以，
连接，交于点，所以，
所以，到平面的距离之比，
所以；
②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，
在平面内过点作的平行线交于点，连接，
易得，因为平面，所以平面，
所以为母线与下底面所成角，
因为，，所以，所以，
要使最小，只要最小即可，
因为，所以，所以，
设，因为为圆的直径，所以，
所以，，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
所以，因此为二面角的平面角，
在中，因为，所以，
因为平面，平面，所以，
在中，由勾股定理得，所以，
所以二面角的正弦值为．
20.2025年上学期高一第三次月考
数学
一、单选题
1．已知复数满足，其中为虚数单位，则（　　）
A． B． C． D．
2．平面直角坐标系中，已知点，，则与同方向的单位向量是（　　）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知集合，，则集合（　　）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若，则（　　）
A．4或2 B． C．2 D．2或
6．已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（　　）
A．1－3i B．3－i C．3＋i D．－1＋3i
7．下列函数在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
8．已知向量 ， 满足 ，且 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列等式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（　　）
A．在△ABC中，，E为AC的中点，则
B．已知，若与的夹角是钝角，则
C．在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则
D．在△ABC中，若与满足，则△ABC是等腰三角形
11．已知集合，，其中，，且满足：，，若对于中的元素，在A中至少存在两个不同元素，使得，则称集合A具有性质，下列选项正确的有（　　）
A．若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质
B．若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质
C．若，，则集合A具有性质
D．若，且为奇数，则集合A具有性质和，但不具有性质
三、填空题
12．已知向量满足，则　 　.
13．已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是　 　．
14．将个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面的中心为，过的直线与平面垂直，以为顶点，为对称轴的抛物线可以被完全放入立体图形中.若，则的最小值为　 　；若有解，则的最大值为　 　.
四、解答题
15．设 ， ， ， ．
（1）分别求 ， ；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
16．（1）计算：；
（2）若，求下列式子的值：
①；
②.
17．已知命题p：“”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为．
（1）求集合A；
（2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18．函数的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的单调递减区间及对称轴．
19．如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面．
（1）证明：；
（2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3．
①求三棱锥B-ADE的体积；
②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值．
20.2023年东盟博览会于9月在南宁举办.某电视台对本市15~65岁的人群随机抽取100人,并按年龄段分成6组,绘制成如图所示的频率分布直方图.抽取的人需回答“2023年是第几届东盟博览会”的问题,回答问题的正确情况如表格所示.
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 [15,25) 5 0.5
第2组 [25,35) 18 a
第3组 [35,45) b 0.9
第4组 [45,55) 9 0.36
第5组 [55,65] 3 0.2
根据上述信息,解决下列问题:
(1)求表格中a,b的值,并估计抽取的100人的年龄的中位数(中位数的结果保留整数);
(2)从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,并从这6人中随机抽取2人,求这2人都不在第2组的概率.

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