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高 考 数 学 必 修 第 二 册 必 备 知 识
则 ＋ ＝(x1＋x2，y1＋y2)， － ＝(x1－x2，y1－y2)， 9、解三角形
平面向量
λ ＝(λx1，λy1)，| |＝ x2＋y2. ⑴ 三角形内角和定理： + + = = ( + ) 1 1
1、平面向量的基本概念 ① sin C＝sin(A＋B)； ② cos C＝－cos(A＋B) ③ tan C＝－tan (A＋B)；
(2)向量坐标的求法
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． ⑵ 边角关系(大边对大角)：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边.
(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
常用结论：在 中， > > > ;
(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量． → →
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝ (x 2 22－x1) ＋(y2－y1) . a b c
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．（ 与任一向量平行）． ⑶ 正弦定理： ＝ ＝ ＝2R. (R 为△ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (3)已知非零向量 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)， 与 的夹角为 θ.
边化角：a＝2Rsin A；b＝2Rsin B； c＝2Rsin C
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
结论 几何表示 坐标表示 边角关系：a :b : c = sin A : sinB : sinC
2、向量的线性运算
模 | |＝√ ＝√ 2 | |＝ x2＋y21 1 ⑷ 余弦定理： 2 = 2 + 2 2 2 = 2 + 2 2
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
2 2 2
交换律： x1x2＋y1y2 = + 2 夹角 cosθ＝ cosθ＝
| || | x2＋y2 x2＋y2 b2 2 2 2 2 2 2 2 2 ＋ ＝ ＋ ； 1 1 2 2 ＋c －a a ＋c －b b ＋a －c
加法 推论：cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ .
结合律： 2bc 2ac 2ab ⊥ · ＝0 x1x2＋y1y2＝0
( ＋ )＋ ＝ ＋( ＋ ) ⑸ 三角形面积公式
∥ （ ≠ 0 ） ＝λ x1y2－x2y1＝0.
1
| ·
|与| || |的关系 | · ＝ a·h (h 表示边 a 上的高)； |≤| || | |x x ＋y y |≤ (x2 2 2 2 a a
减法 1 2 1 2 1
＋y1)(x2＋y2) 2
－ ＝ ＋(－ )
6、“爪”子定理 1 1 1
＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A (两边夹角)
如图：在△ABC 中，D 是 BC 上的点，如果|BD|：|DC|=m：n， 2 2 2
|λ |＝|λ|| |，
λ(μ )＝(λμ) ； → m → n →
当 λ > 0 时，λ 与 的方向相同； 则AD＝ AC＋ AB A 1
数乘 (λ＋μ) ＝λ ＋μ ； m＋n m＋n =
( + + ) (r 为三角形内切圆半径)
2
当 λ < 0 时，λ 与 的方向相反；
λ( ＋ )＝λ ＋λ 1
当 λ＝0 时，λ ＝ → → →当 D为中点时：AD＝ (AC＋AB)
2 m n 复数
2、向量的共线定理 B Cm D n
7、极化恒等式
(1)向量 与非零向量 共线的充要条件是： ＝λ .（λ 唯一） 形式1 1． 复数的有关概念．
1 2 2
(2) A，B，C 三点共线 =
→ → →
OA＝λOB＋μOC 且 λ＋μ＝1. a b = (a +b) (a b) (1) 复数的概念： a＋bi (a，b∈R， = )，其中 a 为实部，b 为虚部． 4
3、平面向量的数量积 (1)三角形模型 当且仅当 b＝0 时，a＋bi 为实数； 当且仅当 a＝b＝0 时，a＋bi 是实数 0；
(1)向量的夹角 在△ABC 中，D 为 BC 的中点： 当且仅当 b≠0 时，a＋bi 为虚数； 当 a＝0 且 b≠0 时，a＋bi 为纯虚数；
2 2 2 2 2 1 2
非零向量 与 的夹角（可移至共起点）的取值范围是[0,π]. AB AC = AD BD = AD CD = AD BC .
4 (2) 复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)；
当 与 同向时,它们的夹角为 0； 当 与 反向时,它们的夹角为 π； (2)平行四边形模型 (3) 共轭复数：a＋bi 与 a－bi 互为共轭复数 (a，b∈R)；
在平行四边形 ABCD 中：
当夹角为 90°时,我们说 与 垂直,记作 ⊥ . 1 2 2 (4) 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x 轴叫作实轴，y 轴
AB AD = ( AC - BD )
4 叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各
(2)平面向量的数量积的定义
8、平面向量与三角形的四心 象限内的点都表示非纯虚数；
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 θ，把数量| || |·cos θ 叫做向量 与 (1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点． →
(5) 复数的模：向量OZ的模叫作 z＝a＋bi 的模，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2 (a，b∈R).
的数量积(或内积)，记作 · ，即 · ＝| || |cosθ. x + x + x y + y + y
①G 为△ABC 的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x ，y
1 2 3 1 2 3
3 3)，则 G , ． 2. 复数的几何意义．
(3)投影向量 3 3 →
→ → → → (1) 复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点 Z(a，b) 平面向量OZ.；
如图：A1B1叫做向量 在向量 上的投影向量． ②G 为△ABC 的重心 GA＋GB＋GC＝ ． (2) 复数 z1＝x＋yi，z2＝a＋bi(x，y，a，b∈R)分别对应 1(x，y)， 2(a，b)，

| | (2)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)． 在 上的投影向量为： cos ； 在 上的投影向量为：| | cos ．
则| 1 2|＝|| | ( － )＋( － ) |＝√( )
2 + (y )2，即表示点 1、 间距离. | | 2→ → → a
O 为△ABC 的外心 |OA|＝|OB|＝|OC|＝
4、平面向量基本定理 2sin A 3.复数的四则运算法则：
→ → →
若不共线的 1 ， 2 是 同一平面内一组基底，则 ＝λ1 1 ＋λ2 2 (λ1，λ2 唯一). sin 2A·OA＋sin 2B·OB＋sin 2C·OC＝ ．
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．
→ → → ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
应用：O，A，B，C 四点共面 OA＝λOB＋μOC.
→ → → → → →
O 为△ABC 的内心 aOA＋bOB＋cOC＝ sin A·OA＋sin B·OB＋sin C·OC＝ ． ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
5、平面向量的坐标运算 (4)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点． ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 → → → → → →
H 为△ABC 的垂心 HA·HB＝HB·HC＝HC·HA z1 a＋bi (a＋bi)(c－di) ac＋bd bc－ad
设 ＝(x ，y 1 1)， ＝(x2，y2)， → → → ④除法： ＝ ＝ ＝ 2 2＋ 2 2 i(c＋di≠0).
tan A·OA＋tan B·OB＋tan C·OC＝ z2 c＋di (c＋di)(c－di) c ＋d c ＋d
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(3) 空间中的平行关系的内在联系：
立体几何 统计
1、 空间几何体表面积与体积 1、随机抽样
表面积或侧面积 体积 (1)简单随机抽样（逐个抽取，总体个数较少）
圆柱 ＝ ＋ ＝ ＝ 2 5. 垂直的判定与性质． S 圆柱表 2πr(r l) V Sh πr h ①抽签法：编号→制签→装入不透明容器摇匀→逐个抽取（不放回）→获得样本
1 1 1 (1) 线面垂直的判定与性质： ②随机数表法：编号→随机数表→随机定起始位置→依次抽取(去重)→获得样本
圆锥 S 侧＝πrl V＝ Sh＝ πr2h＝ πr2 l2－r2
3 3 3 图形 条件 结论 (2)分层随机抽样（按差异分层，按比例抽取）
1
圆台 S 侧＝π(r′＋r)l V＝ h(S′＋ S′S＋S)
3 a⊥m，a⊥n，m α，n α，m∩n＝O a⊥α
(样)
①步骤：分层→计算抽样比例（ ）→按比例分层抽样→获得样本
(总)
判定
1 1
棱锥 S 正棱锥侧＝ ch′(h′是斜高) V＝ Sh
2 3 a∥b，a⊥α b⊥α ②等量关系： =
1 = 2 = （ 第 i 层样本量， 第 i 层总体个数）
1
2
1 1 2 2
棱台 S 正棱台侧＝ (c＋c′)h′(h′是斜高) V＝ h(S′＋ S′S＋S) ③总体平均数 与方差 ：若第一层总体个数：m ，平均数： ，方差：
2 3 a⊥α，b α a⊥b
1 1
性质 第二层总体个数：n ，平均数：
2
2，方差： 2
4
球 S 2 3球表＝4πR V＝ πR
3 a⊥α，b⊥α a∥b 1+ = 2

则： = + ， + + 1 + 2
2. 四个基本事实． (2) 面面垂直的判定与性质：
2 2 2 2 2
基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． = [ 1 + ( 1 ) ] + [ + ( ) ] 文字语言 图形语言 符号语言 + + 2 2
基本事实 2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个 如果一个平面过另一个平面 l β
α⊥β 2、用样本估计总体
平面内. 判定 的垂线，那么这两个平面垂 l⊥α
基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 直
频率分布直方图
排序(小→大)： 1, 2, 3, … , 表示第 i 组底边中点横坐标；
过该点的公共直线． 两个平面垂直，如果一个平 α⊥β 为第 i 组频率.
基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行（传递性）． 面内有一条直线垂直于这两 α∩β＝a 性质 l⊥α 1 + 2 + + 1 = = ∑ = ∑ 3. 线、面位置关系． 个平面的交线，那么这条直 l β 平均数 线与另一个平面垂直 =1 =1(1)直线与直线位置关系：相交、平行、异面． l⊥a
众数 出现次数最多的数 最高矩形底边中点的横坐标
异面直线判定：如图： ， ∩ = ， ， 异面 (3) 空间中垂直关系的内在联系： 1、从小到大排列数据；
(2)直线与平面位置关系：相交、平行、线在面内．
P%分位数 2、计算：i＝n×p%； P%分位数左侧矩形面积为 P%
(3)平面与平面位置关系：相交、平行． 1
（第 P 百 3、若 i 为整数，则为 ( + +1)； 2
4. 平行的判定与性质．
6. 空间角． 分位数） 若 i 不为整数，则为大于 i 的比邻
(1) 线面平行的判定与性质： 整数项.
(1) 异面直线所成的角：
判定 1 2 = ∑( )2 2 = ∑( )2
性质 ①定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点O分别作直线 a′∥a，b′∥b， 方差
定义 定理 =1 =1
我们把直线 a′与 b′所成的角叫作异面直线 a，b 所成的角(或夹角).
图形 ②范围：设两条异面直线所成的角为 θ，则 0°<θ≤90°. 概率
(2) 直线和平面所成的角：0°≤θ≤90°
条件 a∩α＝ a α，b α，a∥b a∥ ∥ ， ， ∩ ＝
1．概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值．
α a α a β α β b
①平面的一条斜线 PA 与它在平面上的射影 OA 所 事件 A 包含的基本事件数 （A）
结论 a∥α b∥α a∩α＝ a∥b 2．古典概型：概率 ( ) = = ．
成的角 θ，叫作这条直线和这个平面所成的角． 基本事件总数 （Ω）
(2) 面面平行的判定与性质：
②如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角 3．概率的基本性质
判定
是 90°；如果一条直线与平面平行，或在平面内，那么称它们所成的角是 0°. (1)互斥事件：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)， 性质
定义 定理 (2)对立事件：两个事件必有一
(3) 二面角的有关概念：0°≤θ≤180° ．．．．．．．
个．发．生．的．互．斥．事．件．叫对立事件．
图形 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．
注意：i．对立事件的概率和等于 1： ( ) + ( ) = ( + ) = 1．
②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一 ii．互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件．
a β，b β， α∥β， (3)对任何两个事件都有： ( + ) = ( ) + ( ) ( )
点为垂足，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射
条件 α∩β＝ a∩b＝P， α∩γ＝a， α∥β，a β 4．事件的相互独立性：相互独立事件的充要条件：P(AB)=P(A)·P(B)．
a∥α，b∥α β∩γ＝b 线所成的角叫作二面角的平面角．
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α (4) 空间角求法：一作二证三求． 性质：事件 A 与事件 B 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也都相互独立.
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