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浙教版2025年七年级下册期末考试数学模拟卷
满分120分 时间120分钟
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一、选择题（共30分）
1．在全球对清洁能源需求日益迫切的当下，太阳能作为一种取之不尽、用之不竭的可再生能源，其开发与利用备受关注．某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为0.000000068米．其中数据0.000000068用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．图中与为同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．为了解本区2025年参加中考的7000名学生的身高情况，抽查了其中200名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）
A．7000名学生是总体
B．从中抽取的200名学生的身高是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体
D．样本容量是200名学生
5．用加减消元法解方程组，下列解法错误的是（ ）
A．，消去x B．，消去y
C．，消去x D．，消去y
6．下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知，且，，三点在同一直线上．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
10．我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五
二、填空题（共18分）
11．已知，用含的代数式表示，则 ．
12．因式分解： ．
13．有65个数据，最大值为93，最小值为21，将数据适当分组，绘制成相应的频数直方图，若组距定为7，则组数为 ．
14．已知，且，，则 ．
15．若方程组的解是，则方程组的解是 ．
16．如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是 ．
三、解答题（共72分）
17．（本题8分）（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
18．（本题8分）先化简，再求值：，其中，．
19．（本题8分）为推进“健康中国行”，某地积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理，调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图．
(1)本次调查的样本容量是______人，增形统计图中“较少了解”部分的圆心角是______；
(2)补全条形统计图；
(3)已知该小区有居民4000人，请估计该小区对垃级分类知识“完全了解”的居民人数．
20．（本题8分）（1）解分式方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
21．（本题8分）2024年某食品股份有限公司始终坚持“用心塑品质，创新赢未来”的经营理念，以发展辣椒产业为主导，综合农副产品深加工等为一体的产品，其产品深受消费者喜欢．某商店计划购买一批产品作为年货出售，据了解1箱辣椒酱、3箱油焖辣椒的进价共计204元；4箱辣椒酱、2箱油焖辣椒的进价共计336元．
(1)求每箱辣椒酱、油焖辣椒两种产品的进价分别为多少元？
(2)某商店需要购买辣椒酱12箱，油焖辣椒10箱，现商家推出活动，优惠一：辣椒酱满10箱打8折；优惠二：总购物金额满1200元减100元（两种优惠不同时享受），问该商店如何购买更划算．
22．（本题10分）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形的位置，，，三角形的周长为30，平移距离为6．
(1)在图中作线段；
(2)求四边形的周长；
(3)求阴影部分的面积．
23．（本题10分）阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在中先加上一项4，使它与的和成为一个完全平方式，再减去4，式子的值不变，于是有：．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
(1)利用“配方法”分解因式：．
(2)同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．因为不论取何值，，所以当时，多项式有最小值为．试确定：多项式是否存在最大值或最小值？如果有，请求出最大值或最小值；如果不存在，请说明理由．
(3)已知是实数，试比较与的大小，说明理由．
24．（本题12分）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B D C C D A B
1．B
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据0.000000068用科学记数法表示为；
故选B．
2．B
【分析】本题考查同位角的概念，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【详解】A、和不是同位角，故A不符合题意；
B、和是同位角，故B符合题意；
C、和不是同位角，故C不符合题意；
D、和不是同位角，故D不符合题意．
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
根据总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A．7000名学生的身高是总体，故原说法错误，不符合题意；
B．从中抽取的200名学生的身高是总体的一个样本，正确，符合题意；
C．每名学生的身高是总体的一个个体，故原说法错误，不符合题意；
D．样本容量是200，故原说法错误，不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解本题的关键．用加减消元法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
【详解】解： A、，可消去，故该选项正确，不符合题意；
B、，可消去，故该选项正确，不符合题意；
C、，可消去，故该选项正确，不符合题意；
D、，不能消去，故该选项不正确，符合题意．
故选：D
6．C
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
根据因式分解的方法逐项求解判断即可．
【详解】解：A．，故选项A不正确；
B．，故选项B不正确；
C．，故选项C正确；
D．无法在有理数范围内分解，故选项D不正确．
故选：C．
7．C
【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是关键．先求出，再根据两直线平行内错角相等即可得到答案．
【详解】解：，，
．
∵，
．
故选C．
8．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找出相等关系是关键；
设每头牛值x金，每只羊值y金，根据：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，即可列出方程组.
【详解】解：设每头牛值x金，每只羊值y金，
可列方程组为：；
故选：D.
9．A
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据方程的解为非正数求出的范围即可．
【详解】解：
分式方程去分母得：，
解得：，
由方程的解是非正数，得到，且，
解得：．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索问题，把转化为，再根据题中规律展开，即可求解．
【详解】解：
，其中、、、为常数，
除以的余数为，
今天是星期三，再过天还是星期三，
再过天是星期四，
故选：B．
11．
【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组．将移到方程的右边即可．
【详解】解：，
移项得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数4，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
13．11
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，
先求出数据的最大值和最小值的差，再除以组距，若结果不是整数，那么得到的结果进一，可得答案．
【详解】解：，
，
所以组数为11组．
故答案为：11．
14．24
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式即可求解．
【详解】解：因为，，
所以，
所以．
故答案为：24．
15．
【分析】此题考查了二元一次方程组的解．方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴方程组的解为：，
解得，
故答案为：．
16．4
【分析】作EF//AB则AB//CD//EF，根据平行线的性质得出∠MEN=∠BME+∠DME=128°，同理∠ME1N=(∠BME+∠DME) =64°，∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32°，可归纳规律∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1) =，依此建立方程=8°求解即可解答．
【详解】解：如图：作EF//AB
∵AB//CD
∴AB//CD//EF
∴∠FEM=∠BME, ∠FEN=∠DNE,
∴∠MEN=∠BME+∠DME=∠FEM +∠FEN =∠MEN= 128°
同理：ME1N=(∠BME+∠DME) =64°，
∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32°
…
∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1) =
由题意得：=8°，解得n=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了平行线的性质、探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】本题考查解二元一次方程，掌握加减消元法是解题的关键．
（1）运用加减消元法求解即可；
（2）运用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1）
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴原方程组的解是：；
（2）
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴原方程组的解是：；
18．，10
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据完全平方公式和平方差公式可以将括号内的式子展开，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式计算，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
19．(1)，36；
(2)见解析；
(3)人．
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及用样本估计总体．熟练掌握两种统计图的特点、样本容量的计算方法、圆心角的计算和用样本估计总体的思想是解题的关键．
（1）样本容量可根据“完全了解”的人数及其所占百分比来求，因为“完全了解”人数是30，占比30%，用“完全了解”人数除以其占比就能得到样本容量．先算出“较少了解”的人数，用样本容量减去其他各类人数，再根据圆心角公式（圆心角 = 该部分占总体的百分比）计算“较少了解”部分的圆心角．
（2）先算出“较少了解”的人数，用样本容量减去“完全了解” “较多了解” “不了解”的人数，然后补全条形统计图．
（3）用小区总人数乘以“完全了解”人数在样本中的所占百分比，即可估计小区“完全了解”的居民人数．
【详解】（1）解：∵“完全了解”的人数是，所占百分比是，
∴样本容量为人．
∴“较少了解”的人数：人．“较少了解”部分的圆心角：．
故答案为：，36；
（2）解：由（1）得较少了解”人数为人．补全条形统计图如下：
（3）解：该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数估计为：人．
20．（1）分式方程无实数解，（2）
【分析】（1）通过去分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后，检验所得的根是否使原分式方程的分母为零，若使分母为零，则为增根，原分式方程无解．
（2）先对原式进行化简，即先算括号内的减法，再将除法转化为乘法进行约分，得到最简形式后，代入给定的的值进行计算．
本题主要考查了分式方程的解法、分式的化简求值，熟练掌握分式方程的求解步骤（去分母、解整式方程、检验）以及分式化简的运算顺序（先算括号内，再将除法变乘法约分）是解题的关键．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
检验：当时，，是增根，舍去，
原分式方程无实数解．
（2）解：原式 ，
当时，原式．
21．(1)每箱辣椒酱的进价为60元，每箱油焖辣椒的进价为48元
(2)该商店应该按照优惠一购买更划算
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组和算式是解题的关键．
（1）设每箱辣椒酱的进价为x元，每箱油焖辣椒的进价为y元，根据1箱辣椒酱、3箱油焖辣椒的进价共计204元；4箱辣椒酱、2箱油焖辣椒的进价共计336元建立方程组求解即可；
（2）根据（1）所求结合优惠方案分别计算出两种优惠方案的费用，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：设每箱辣椒酱的进价为x元，每箱油焖辣椒的进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：每箱辣椒酱的进价为60元，每箱油焖辣椒的进价为48元；
（2）解；购买辣椒酱12箱，油焖辣椒10箱的原价为元，
按照优惠一进行购买的费用为元，
按照优惠二进行购买的费用为元，
∵，
∴该商店应该按照优惠一购买更划算．
22．(1)见解析
(2)42
(3)阴影部分的面积为．
【分析】本题考查平移的性质．
（1）作出线段即可；
（2）根据平移的性质，，，，再利用三角形的周长公式求解即可；
（3）根据平移的性质，易得阴影部分的面积等于梯形的面积，进行求解即可．
【详解】（1）解：线段如图所示；
（2）解：∵三角形的周长为30，平移距离为6，
∴，，，
∴四边形的周长
；
（3）解：∵平移得到，
∴，，，
∴，即：梯形的面积等于阴影部分的面积，
∵，
∴梯形的面积为，
∴阴影部分的面积为．
23．(1)；
(2)有最大值，且最大值为17；
(3)，理由见解析．
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，根据多项式的前两项配方成完全平方公式，利用非负数的性质求解是解题的关键；
（1）根据前两项的情况，分别加9，再减9，利用平方差公式分解即可；
（2）先提取负号后，再加1后减1，即可配方，利用非负数的性质即可求得最大值；
（3）两式相关，再利用配方法即可判断大小．
【详解】（1）解：
；
故答案为；
（2）解：
；
∵，
∴，
即多项式有最大值，且最大值为17；
（3）解：；
理由如下：
；
∵，
∴，
即．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键．
（1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出；
（2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
（3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）证明：如图2，过点N作，
，
，，
设，，
、分别平分，,
，，
又，
，
又，
，
，
，
，
（3）解：
，即，
∴，
∴
，，
又和是角平分线，
，
，
又，
∴，
故答案为．

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