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北师大版2024-2025学年八年级数学上册 第二章《实数》单元测试卷
（测试时间：100分钟 试卷满分：100分）
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．在-1.414，，，3.14，2，3.212212221…这些数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．要使有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．以下计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．若，则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．0
如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，
下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　 　）

A． B． C． D．8
7. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，
对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）

A． B． C． D．2.5
化简（x≠y，且x、y都大于0），
甲的解法；==﹣；
乙的解法：==﹣，
下列判断正确的是（　　 ）
A．甲的解法正确，乙的解法不正确
B．甲的解法不正确，乙的解法正确
C．甲、乙的解法都正确
D．甲、乙的解法都不正确
9．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
下列说法：
①数轴上没有点表示这个无理数；②；
③的平方根是； ④若正实数的平方根是和，则；
⑤立方根等于本身的数是1和0．
其中正确的有（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．直接填写答案．
11. 比较大小： .
12．当x 时，二次根式有意义．
13．写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
14．在中，，若，则 ．
15．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），，，，…
利用以上规律计算结果是 ．
小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序．
如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ．
如图，数轴上点表示的数为是的正方形网格上的格点（网格线的交点），
以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为 ．
对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．
现在对72进行如下操作：，
即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，
若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．求下列各式中的值．
(1)；
(2)．
20．计算下列各小题：
(1)；
(2)．
21．已知一个正数m的两个平方根分别为和．
(1)求m和n的值；
(2)如果，求的立方根．
22．观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，…
按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______；
计算：的值．
如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形（、.......是直角）
按此方式继续画下去：根据图中所标数据．
填空：＝______，＝______；
(2) 记的面积为，的面积为，…的面积为．求出和．
我们已经学过完全平方公式，
知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，
那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，
∴的算术平方根是
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
；
．
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北师大版2024-2025学年八年级数学上册 第二章《实数》单元测试卷解答
（测试时间：100分钟 试卷满分：100分）
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．在-1.414，，，3.14，2，3.212212221…这些数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】解: -1.414，3.14是有理数，
，，2，3.212212221…是无理数，
故选C.
2．要使有意义，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于所给的代数式中含有二次根式，因此二次根式的被开方数必须非负，解不等式，即可求得x的取值范围．
【详解】解：要使根式有意义
则被开方数x＋1≥0，得x≥－1
故选：B．
3．以下计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可以先求出的值，再求它的算术平方根；一个数的立方根只有一个；先算出的值，再添加号；负数的偶数次方等于正数．
【详解】A．=25，，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，，符合题意；
D．，不符合题意．
故选：C．
4．若，则的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求出a和b的值，再求和即可．
【详解】解：，，，
，，
，，
，
故选C．
如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，
下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且＜，
∴，∴A选项的结论不成立；
，∴B选项的结论不成立；
，∴C选项的结论不成立；
，∴D选项的结论成立．
故选：D．
6．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（　 　）

A． B． C． D．8
【答案】A
【详解】解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8，
∵8是有理数，
∴结果为无理数，
∴y==．
故选A．
7. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，
对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）

A． B． C． D．2.5
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理计算出，由此即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是，
故选：C．
化简（x≠y，且x、y都大于0），
甲的解法；==﹣；
乙的解法：==﹣，
下列判断正确的是（　　 ）
A．甲的解法正确，乙的解法不正确
B．甲的解法不正确，乙的解法正确
C．甲、乙的解法都正确
D．甲、乙的解法都不正确
【答案】C
【分析】分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，或者运用因式分解和约分．
【详解】甲的解法：==﹣利用平方差公式进行分母有理化，正确；
乙的解法：==﹣，利用因式分解进行分母有理化，正确.
故选C．
9．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
【详解】解：∵用边长为的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：，
则大正方形的边长为： ，
∵，
∴，
∴大正方形的边长最接近的整数是4，
故选：．
下列说法：
①数轴上没有点表示这个无理数；②；
③的平方根是； ④若正实数的平方根是和，则；
⑤立方根等于本身的数是1和0．
其中正确的有（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数与数轴，平方根、立方根的定义；根据实数与数轴，平方根、立方根的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：①实数与数轴一一对应，则数轴上有点能表示这个无理数，故①说法不正确；
②∵，∴，
∴，故②说法正确；
③∵，
的平方根是，故③说法正确；
④∵和是m的平方根，
∴，
解得：，
∴，
∴，故④说法正确；
⑤立方根等于本身的数是和
综上：正确的有②③④，
故选：A．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．直接填写答案．
11. 比较大小： .
【答案】>
【分析】因为两数的分母相同，比较分子的大小即可．
【详解】解：∵1>-1
∴>.
故答案为 >
12．当x 时，二次根式有意义．
【答案】x＞0
【详解】解：根据题意得，＞0，
解得x＞0．
13．写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有2＜＜3，这样就可得到满足条件的无理数．
【详解】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
即为比2大比3小的无理数．
故答案为（答案不唯一）．
14．在中，，若，则 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理得，再代入计算即可．
【详解】解：在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理解题的关键．
15．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），，，，…
利用以上规律计算结果是 ．
【答案】0
【分析】根据题干所示的规律，可知：当x为整数时，；
当x为分数时，．代入计算即可．
【详解】解：根据题意可知：
当x为整数时，；
当x为分数时，；
∴，
故答案为：0．
小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序．
如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根的计算及无理数的判断；根据程序进行计算判断即可．
【详解】解：是有理数，是有理数，是无理数，输出结果为；
故答案为：．
如图，数轴上点表示的数为是的正方形网格上的格点（网格线的交点），
以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：∵轴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴N点所表示的数为：．
故答案为：．
对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．
现在对72进行如下操作：，
即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，
若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ．
【答案】256
【分析】本题考查实数的运算、估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
从后往前推导，根据的定义，先确定最后一次操作结果为时前一次操作结果的最大值，再依次类推，求出第一次操作前的最大值．
【详解】根据例题操作可知：
要使最大，最后一次操作，这里p是第二次操作的结果．因为，
根据定义可知，两边同时平方可得，
所以p最大取．
对于第二次操作，设第一次操作的结果为，此时，
根据定义，两边同时平方得到，
所以最大取16．
对于第一次操作，设经过第一次操作后变为，此时，根据定义，两边同时平方可得，
所以最大为256．
验证：
对256进行如下操作：
∴如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；
故答案为：256．
三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．求下列各式中的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解概念是解题的关键．
（）根据平方根的概念解方程即可；
（）根据立方根的概念解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．计算下列各小题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算．
（1）先根据二次根式的性质和乘除法则计算，然后再合并同类根式即可；
（2）先用完全平方公式和平方差公式展开，然后再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．已知一个正数m的两个平方根分别为和．
(1)求m和n的值；
(2)如果，求的立方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查平方根、立方根、非负数的性质，掌握算术平方根、绝对值的非负性是解题的关键．
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出n的值，进而即可求解；
（2）根据算术平方根、绝对值的非负性求出a，b的值，再求立方根即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：，
∴；
（2）解：由，
可知，
解得：，
∴，
，
即的立方根为．
22．观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，…
按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______；
计算：的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
（1）利用前面4个等式的规律，找出序号数与被开方数的关系写出第6个和第n个等式；
（2）直接合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
∴；
；
故答案为：；；
（2）解：
如图，在这个漂亮的螺旋图中，所有的三角形都是直角三角形（、.......是直角）
按此方式继续画下去：根据图中所标数据．
填空：＝______，＝______；
(2) 记的面积为，的面积为，…的面积为．求出和．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）由勾股定理求出，，，得出规律，即可得出，；
（2）由三角形面积公式求出，，得出规律即可．
【详解】（1）由勾股定理的：，
，
，
，
，
∴；
故答案为：，；
（2）根据题意可得：，
，
，
∴．
我们已经学过完全平方公式，
知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，
那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，
∴的算术平方根是
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
；
．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，
熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
（1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可；
（2）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
．
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