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1.1 向量 同步课时作业
一、选择题
1．已知向量,,则( )
A. B.2 C. D.10
2．如图,在四棱柱的上底面ABCD中,,则下列向量相等的是( )
A.与 B.与 C.与 D.
3．已知向量，满足，，则( )
A. B. C.3 D.4
4．已知四边形中，，并且，则四边形是( )
A.菱形 B.正方形 C.等腰梯形 D.长方形
5．如图，O是坐标原点，M，N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为( )
A. B. C. D.
6．在边长为1的正三角形ABC中，的值为( )
A.1 B.2 C. D.
7．下列说法正确的是( )
A.若，则
B.零向量的长度是0
C.长度相等的向量叫相等向量
D.共线向量是在同一条直线上的向量
8．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是( )
A.正方形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的长度为0
C.相等向量的方向相同 D.同向的两个向量可以比较大小
10．下列命题正确的是( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.零向量的长度等于0
C.若,都为非零向量,则使 成立的条件是与反向共线
D.若,,则
11．下列叙述中错误的是( )
A.若,则
B.已知非零向量与且,则与的方向相同或相反
C.若,,则
D.在等边中,与的夹角为
三、填空题
12．若A地位于B地正西方向处，C地位于A地正北方向处，则C地相对于B地的位移是__________.
13．已知向量，，满足，，，，则的最大值为__________.
14．已知点A，B，C均位于同一单位圆O上，且，若，则的取值范围为__________.
15．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，设点集，集合，且M，N不重合}，则集合T中元素的个数为___________.
四、解答题
16．已知，，那么—定成立吗？为什么？
17．（例题）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量，，相等的向量.
18．已知A，B，C是平面上三个不同的点：
（1）如果，那么A，B，C三点一定共线吗？
（2）如果与不平行，那么A，B，C可能共线吗？
19．在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同.( )
20．已知点E，F，G，H分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意,向量,,所以,
所以,
故选：C.
2．答案：D
解析：因为,则四边形是平行四边形,结合题图,
,A错误;
,B错误;
与方向不相同,C错误;
,D正确.
故选:D.
3．答案：A
解析：因为, 所以, 所以, 故选:A.
4．答案：A
解析：由题意，四边形中，
因为，可得且，所以四边形为平行四边形，
又因为，可得，
所以四边形为菱形.
故选：A.
5．答案：A
解析：设，的夹角为，，则，，故的范围为.
答案A
6．答案：D
解析：因为.
又正三角形ABC边长为1，
所以，，，
所以.
故选D.
7．答案：B
解析：A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，
故未必成立，所以A错误；
B：根据零向量的定义可判断B正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.
故选：B.
8．答案：B
解析：在四边形ABCD中，，所以，且，
所以四边形为平行四边形.
故选：B.
9．答案：BC
解析：对于选项A,因为零向量的方向是任意的,所以选项A错误,
对于选项B,因为零向量是方向任意,长度为0的向量,所以选项B正确,
对于选项C,因为相等向量是方向相同,长度相等的向量,所以选项C正确,
对于选项D,向量不能比较大小,向量的模长可以比较大小,所以选项D错误,
故选：BC.
10．答案：BCD
解析：A.零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误;
B.由零向量的定义知,零向量的长度为0,故B正确;
C.因为,都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即与反向共线时才成立,故C正确;
D.由向量相等的定义知D正确;
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：A.向量不能比较大小,故错误;
B.因为非零向量与且,所以与的方向相同或相反,故正确;
C. 当时,满足,,但与不一定共线,故错误;
D.在等边中,与的夹角为,故错误,
故选：ACD.
12．答案：西北方向
解析：根据题意画出图形如图所示，由图可知，且，故C地相对于B地的位移是西北方向.
13．答案：/
解析：设，，，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），
因，，，则，，设，
由可得：，
即，整理得：，点C在以为圆心，1为半径的圆上，
则表示点A，C的距离，即圆上的点与的距离，圆心到点A的距离为，的最大值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由可得：，
所以，所以，即线段BC为单位圆的直径.
以圆心为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图：
则，，
设，则，，
由可得：，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，
因为，
所以
，
又，，
所以，即：.
15．答案：12
解析：由题意知，集合T实质上是S中任意两点连成的有向线段表示的向量的集合，共有20个向量，分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对相等向量，即，，，，，，，.
集合中元素具有互异性，
集合T中的元素共有12个.
16．答案：不一定，理由见解析
解析：不一定，因为如果，a与c的方向不确定，都有，，
此时不能得到，若，则，.
17．答案：，，
解析：因为两个向量相等，只要方向相同大小相等即可，
所以，，.
18．答案：（1）共线
（2）不共线
解析：（1），与的方向相同或相反.
又AB与BC有公共点B，A，B，C三点一定共线.
（2）如果与不平行，则A，B，C一定不共线.
19．答案：√
解析：在平面直角坐标系中，设，，
若，则，所以，，可得，
故在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同.
故答案为：√.
20．答案：证明见解析
解析：证明：如图，连接AC，
因为E，F分别是，的中点，所以为的中位线，
所以，且，
同理，因为G，H分别是，的中点，所以，且，
所以，且，
因为向量与方向相同，所以.

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