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1.4 向量的分解与坐标表示 同步课时作业
一、选择题
1．在中,,,若点D满足,则( )
A. B. C. D.
2．已知向量,,若,则( )
A.5 B.2 C.3 D.4
3．如图，在中，P在线段上，满足，O为线段上一点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4．在中,点D在线段BC上,且,E是线段AB的中点,则( )
A. B.
C. D.
5．如图所示，四边形是正方形，M，N分别，的中点，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
6．在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则( )
A. B. C. D.
7．如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，E为AD的中点，F为CO的中点，若，则( )
A.1 B.2 C. D.
8．已知,,且A,B,C三点共线,则( )
A. B.1 C.2 D.4
二、多项选择题
9．下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A., B.,
C., D.,
10．已知向量,不共线,则下列能作为平面向量的一个基底的有( )
A. B.
C. D.
11．已知,是平面内的一组基底,则下列向量中能作为一组基底的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
三、填空题
12．已知，，，且相异三点A、B、C共线，则实数________.
13．在四边形ABCD中,已知,,,则四边形ABCD的面积是______________.
14．如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则的最小值为__________.
15．设,是平面内不共线的一组基底,,,,若A,B,D三点共线,则实数_____________.
四、解答题
16．在中，D，E是AB，AC上一点，且，设，，试用基底表示向量.
17．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，连接，P为线段上的一个动点.
(1)用基底表示；
(2)求的值；
(3)设，求的取值范围.
18．（例题）如图所示，已知中，E，F分别是AB，BC的中点，AF与CE相交于点O，求与的值.
19．已知，是平面内两个相互垂直的单位向量，且，，，求a，b，c的坐标.
20．（例题）已知，，，求y的值.
参考答案
1．答案：C
解析：,,
.
故选：C.
2．答案：B
解析：向量,,由,得,
所以.
故选：B.
3．答案：D
解析：由已知O为线段上一点，
设，，
则
，
又，
则，
所以，
则，
解得，
故选：D.
4．答案：A
解析：因为,所以,
则.
故选：A.
5．答案：D
解析：
，
所以，
所以，
所以，
.
故选：D.
6．答案：C
解析：，所以，，则.故选C.
7．答案：B
解析：由题可得，，
所以，
又因为，所以因此.故选B.
8．答案：A
解析：因为A,B,C三点共线,所以,
因为,,
所以,解得.
故选：A.
9．答案：BC
解析：对于A,零向量与任意向量共线,所以不可以作为基底;
对于B,由于,所以不共线,可以作为基底;
对于C,由于,所以不共线,可以作基底;
对于D,由于,所以共线,不可以作为基底;
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：对于A,令,,即,,
所以无解,
故向量与不共线,能作为平面向量的一个基底,A正确;
对于B,因为,即向量与共线,故不能作为平面向量的一个基底;B错误;
对于C,令,,即,,
所以无解,
故向量与不共线,能作为平面向量的一个基底,C正确;
对于D,令,,即,,
所以无解,
故向量与不共线,能作为平面向量的一个基底,D正确
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：对于A,设,故,无解,
故与不共线,故可作为一组基底,故A正确;
对于B,设,故,无解,
和不共线,故可作为一组基底,故B正确;
对于C,,故和共线,故不能作为一组基底,故C错误;
对于D,设,无解,故和不共线,故可作为一组基底,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：，
，
因为相异三点A、B、C共线，所以，
则，
解得或，
当时，，A、B重合，舍去，
故，
故答案为：.
13．答案：30
解析：,又因为
所以四边形ABCD为矩形,所以,,
所以.
故答案为：30.
14．答案：
解析：由，
得，
即，
D，E，F三点共线，
，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为
故答案为：.
15．答案：
解析：,
,
由A,B,D三点共线,
则有,解得,
故答案为：.
16．答案：
解析：由题意得，，
.
17．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由向量的线性运算法则可得①，
②，
因为M为线段中点，则，由题意可得，
①+②得，
整理得：，
则
(2)由与交于点N，
设③，
设，可得，
即④，
由③④得，
消去得，所以，即.
(3)由题意，可设，
代入中
并整理可得.
又，
故，
可得.
因为，且函数在上单调递减，
所以，
，
因为函数在单调递减，
所以，，，
所以的取值范围为.
18．答案：
解析：因为，
又因为E，F都是中点，所以.
另外，，所以.
设，，则有，即.
从而由共线向量基本定理可知，因此.
19．答案：，，
解析：依题意，是平面内两个相互垂直的单位向量，
且，，，
所以，，.
20．答案：
解析：因为，所以，解得.

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