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1.5 向量的数量积 同步课时作业
一、选择题
1．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则( )
A.2 B.8 C.或 D.2或8
2．已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.1
3．已知向量,,满足,,,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
4．如图,在平行四边形中,已知,,,,则的值是( )
A.18 B.22 C. D.
5．平面中两个向量,满足,,则在方向上的投影向量为( )
A.2 B. C. D.-2
6．已知向量,满足,,且向量在向量上的投影向量为,则( )
A. B.6 C. D.3
7．已知向量，满足，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8．已知向量、满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若,,均为单位向量,且,,则的值可能为( )
A. B.1 C. D.2
10．已知向量,的夹角为 ,且,,则( )
A. B.
C. D.在的方向上的投影向量为
11．对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中.给出以下命题，其中错误选项的是( )
A.若时，则
B.若时，则
C.若时，则的取值个数最多为7
D.若时，则的取值个数最多为
三、填空题
12．设向量的夹角的余弦值为,且,则________
13．已知向量，满足，，则______.
14．已知向量，，若，则______.
15．若向量,满足,,则在上的投影向量是________.
四、解答题
16．已知,,且向量与向量的夹角为,
(1)当时,求向量在向量上的投影向量;
(2)当时,求向量在向量上的投影向量.
17．在如图所示的平面图形中,已知,,点A,B分别是线段CE,ED的中点.
(1)试用,表示;
(2)若,,且,的夹角,试求的取值范围.
18．已知抛物线与过点直线l相交于A、B两点，点O为坐标原点.
(1)求的值；
(2)若的面积等于3，求直线l的一般方程.
19．已知平面向量，满足，，.
(1)若与的夹角为，求的值；
(2)求在方向上的投影向量的模.
20．已知点，，将向量绕点A逆时针旋转得到，求点C的坐标.
参考答案
1．答案：D
解析：若平面向量，，两两的夹角相等，
则夹角为0或，
若夹角为0，
因为，，
则，
若夹角为，，
则
.
故选：D.
2．答案：D
解析：，，
∵，∴，
即，∴.
故选D.
3．答案：A
解析：由可得,
将,代入可得,
所以,故,由于,所以,
故选：A.
4．答案：B
解析：
.
故选B
5．答案：B
解析：由题意得：,
故在方向上的投影向量为 ,
故选：B.
6．答案：A
解析：根据公式可知向量在向量上的投影向量为
所以,得.
故选:A
7．答案：A
解析：由，，，
得，则，
所以在上的投影向量为
.
故选：A.
8．答案：C
解析：设向量、的夹角为，
因为，可得，
所以，在上的投影向量为.
故选：C.
9．答案：AB
解析：因,,均为单位向量,且,,
所以,所以,
又,故
而
,
所以即
所以选项C,D不正确,选项A,B正确.
故选:A,B.
10．答案：AB
解析：,,故A正确;
,所以,故B正确;
,所以,
又因为,所以,故C错误;
在上的投影向量为,故D错误;
故选：AB.
11．答案：BD
解析：对A，若时，，，
两式相乘得，
又，，即，
，即，故A正确；
对B，若，则，
同理，相乘得到，
又，所以，即，
则取值时符合，此时，故B错误；
对C，若时，则，
同理，相乘得，
又，，，
又，得，
，，3，，，，6，7，8，9，，
的取值个数最多为7个，故C正确；
对D，若时，由上面推导方法可知，
，，，
的取值个数最多为，故D错误.
12．答案：8
解析：由,得,,
又因为向量,的夹角的余弦值为,
所以,
,
故答案为:8
13．答案：3
解析：向量，满足，，
则，
故答案为：3
14．答案：
解析：因为，，
由
可得
，
解得.
故答案为：.
15．答案：
解析：因为,,
所以在上的投影向量是.
故答案为:
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,且向量与向量的夹角,
所以,
所以向量在向量上的投影向量为.
(2)因为,且向量与向量的夹角,
所以,
所以,
所以向量在向量上的投影向量为.
17．答案：(1);
(2).
解析：(1)连接AB,则,
A,B分别是线段CE,ED的中点,
,则.
(2)
,
将,代入,
则.
,
,则,
故.
18．答案：(1)2；
(2)或
解析：（1）设，，由题意l的斜率不为0，
设直线l的方程为，
代入抛物线方程可得，，
由根与系数的关系可得，，
所以.
（2）记为点C，
由（1）有，
所以，
所以，解得：，
所以直线l的方程为：或.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
所以，
因为，，所以，
所以.
(2)因为，
所以，
所以向量在方向上的投影向量的模为：.
20．答案：
解析：，，
设与x轴正向夹角为，
则，即，
，
由题意得：
，
设，则，，.
.

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