资源简介

1.7 平面向量的应用举例 同步课时作业
一、选择题
1．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为，已知礼物的质量为m，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（重力加速度g）( )
A. B. C. D.
2．如图,在中,,,P为CD上一点,且满足,若,则的最小值是( )
A.2 B.4 C. D.
3．课本第46页上在用向量方法推导正弦定理时采取如下操作：如图1所示，在锐角中，过点A作与垂直的单位向量，因为，所以.由分配律，即得，也即.
请用上述向量方法探究：如图2所示直线l与的边AB，AC分别相交于点D，E.设，，，，则与的边和角之间的等量关系为( )
A. B.
C. D.
4．如图，在等腰直角三角形中，斜边，M为线段上的动点（包含端点），D为的中点.将线段绕着点D旋转得到线段，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5．已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动M，则最大值为( )
A.13 B. C.5 D.
6．已知平面内一正三角形的外接圆半径为4,在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动M,则最大值为( )
A.13 B. C.5 D.
7．已知点A、B、C在圆上运动，且，若点P的坐标为，则的最大值为( )
A.3 B.5 C.7 D.9
8．设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若，，且，则称，调和分割，.已知点，调和分割点，，则下面说法正确的是( )
A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点
C.C，D可能同时在线段AB上 D.C，D不可能同时不在线段AB上
9．冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竟技运动.同学小张在冰球训绿的过程中，以力作用于冰球，健冰球从点移动到品，则F对冰球所做的功为( )
A.-17 B.-10 C.17 D.10
10．平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为45°，则的大小为（ ）
A. B.5N C. D.
11．在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）.假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是( )
A.的最小值为 B.的范围为
C.当时， D.当时，
二、填空题
12．一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为______牛顿.
13．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典,如图,这是《易经》中记载的几何图形—八卦图.图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,其余八块面积相等的图形代表八卦图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点,则的最小值为______.
14．平面上三个力,,作用于同一点,且处于平衡状态,已知,,与的夹角为,则的大小为_____N.
15．已知正的边长为1，EF为该三角形内切圆的直径，P在的三边上运动，则的最大值为____________.
三、解答题
16．（例题）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？
17．（例题）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到）？
18．一物体在力F的作用下，由点移动到点.已知，求F对该物体所做的功.
19．用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线等于两底边和的一半，且平行于上、下两底边.
20．在边长为2的等边中，D为BC边上一点，且．
（1）若P为内一点（不包含边界），且，求的取值范围；
（2）若AD上一点K满足，过K作直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，的面积为，四边形BCNM的面积为，且，求实数k的最大值．
参考答案
1．答案：C
解析：设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为，则，故，故选C.
2．答案：A
解析：设,则
,
所以,,解得.
,,
,
当且仅当时,即当时,等号成立.
所以,的最小值为2.
故选：A.
3．答案：C
解析：设，则，
因为，所以，
即，
即，
所以，
即.
故答案选：C.
4．答案：D
解析：解法一：
连接，则
，
当时，最小，即，
结合，得的最小值为.
解法二（极化恒等式法）：
依题意，D为线段的中点，
则，
，
由于，，所以的最小值为.
故选：D
5．答案：A
解析：建立如图所示坐标系，
则点，，，
设点，且，
则
故当，时，有最大值为13
故选：A.
6．答案：A
7．答案：C
解析：因为，所以AC为直径且过原点，AC的中点为原点O，
所以由平行四边形法则可得：，
所以，
所以当，共线且方向相同时模长最长，即当B运动到时，
取得最大值为.
故选：C.
8．答案：D
解析：由已知得，即，得，，即，得，
根据，得.
若C是线段AB的中点，则，
代入，得，
此等式不可能成立，故选项A中的说法不成立；
同理选项B中的说法也不成立；
若C，D同时在线段AB上，则，，此时，，，与矛盾，故选项C中的说法不成立；
当C，D同时不在线段AB上时，
若，，则，与矛盾，
若，，则是负值，与矛盾，
若，，则，，此时，与矛盾，
若，，则，，此时，与矛盾，故选项D中的说法成立.
故选D.
9．答案：C
解析：因为，，所以，又，
故力F对冰球所做的功为.
故选：C
10．答案：C
解析：由题意得，
所以
故选：C
11．答案：B
解析：如图，对于选项A：当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，A正确；
对于选项B：当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，B错误；
对于选项C：当行李包处于平衡时，，若，
则有，变形得，
，即，正确；
对于D选项：若，则有则有，变形可得则有，D正确，
故选：B.
12．答案：6
解析：设三个力，，分别对于的向量为：，，，
则由题知，
所以，
所以，
又，，，
所以，
所以的大小为：6.
故答案为：6.
13．答案：
解析：如图,以A为原点建立直角坐标系,则,,
过H作轴,因为正八边形ABCDEFGH,所以是等腰直角三角形,所以,
同理,过C作轴,则,过F作,则,
所以,,
设,
则,,所以,
,,则,
所以
,
其中表示点到点的距离的平方,
因为点在正八边形ABCDEFGH内,所以的最小值为0,
所以的最小值为.
故答案为:.
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：正的边长为1，则高为，内切圆半径为
如图所示，，
当点P为的顶点时，取得最大值，所以的最大值为.
故答案为：
16．答案：见解析
解析：先来看共提旅行包的情况.如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为，旅行包所受的重力为G.
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道.
这里，为定值.解题思路上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；
反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，
此时由大逐渐变小.这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.
同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
解题思路：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释.
17．答案：
解析：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短.
如图，设，则.
此时，船的航行时间.
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要.
解题思路：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的.考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于河岸.
18．答案：
解析：，
对物体所做的功.
19．答案：证明见解析
解析：证明：因为所以.
又因为E，F分别为AD，BC的中点，则，，
所以.
因为，共线且同向，所以.
不妨设，则，所以.
又EF，CD无公共点，所以.同理.所以梯形的中位线定理即证.
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1）取BC的中点E，所以，
因为E为BC的中点，所以，
所以，
又因为，所以，故，
故的取值范围.
（2）因为，所以，
因为，，，
所以，也即，
因为点K，M，N三点共线，所以①
因为，所以，
所以，又因为，所以，
所以②，
由①得：，将其代入②式可得：，
所以当时，k取最大值.

展开更多......

收起↑