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3.4 复数的三角表示 同步课时作业
一、选择题
1．复数的辐角主值是( )
A. B. C. D.
2．若（i为虚数单位），则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知：棣莫弗公式（i为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4．已知，，则( )
A. B. C. D.
5．如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的( )
A.辐角唯一 B.辐角主值唯一
C.辐角主值为 D.辐角主值为
6．已知，则( )
A. B. C. D.
7．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，( )
A.1 B.0 C.-1 D.
8．复数的三角形式为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．欧拉公式(其中i为虚数单位,)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数理论里占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥,依据欧拉公式,下列选项正确的是( )
A.复数对应的点位于第三象限 B.为纯虚数
C.复数的模长等于 D.的共轭复数为
10．（，i是虚数单位，e是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复解题思路领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联.根据欧拉公式，下列说法正确的是( )
A.对任意的，
B.在复平面内对应的点在第一象限
C.
D.
11．已知i为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，，则
D.若，，则
三、填空题
12．设复数z的辐角是，实部是－2，则z=________.
13．已知复数，则__________.
14．复数的辐角主值为__________.
15．设复数，，则的辐角主值为__________.
四、解答题
16．计算下列各式的值.
（1）；
（2）；
（3）.
17．化简下列各式.
（1）；
（2）.
18．将复数化为三角形式.
19．已知中，，，点E在AC上，且.用复数证明：.
20．已知实数，写出下列复数的辐角主值.
（1）a；
（2）；
（3）；
（4）.
参考答案
1．答案：D
解析：，
，，
辐角主值，
故选：D.
2．答案：A
解析：当时，，
当时，可以取，此时，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
3．答案：B
解析：由，
所以，
复数在复平面内所对应的点的坐标为，，
，
所以，，
复数在复平面内所对应的点位于第二象限.
故选：B.
4．答案：D
解析：
.
故选：D.
5．答案：B
解析：辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值.
故选：B.
6．答案：B
解析：
所以，
故选：B
7．答案：C
解析：因为，
所以.
故选：C.
8．答案：C
解析：因为，所以，辐角为，所以复数的三角形式为，
故选：C.
9．答案：BC
解析：A项,,因为,所以,,即复数对应的点位于第二象限,故A项错误;
B项,,为纯虚数,故B项正确;
C项,
,
所以
,C正确;
D项,的共轭复数为,故D项错误.
10．答案：ABD
解析：对于A选项，，正确；
对于B选项，，而，，
故在复平面内对应的点在第一象限，正确；
对于C选项，，错误；
对于D选项，
，正确.
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：A.若，则，所以该选项正确；
B.若，则，所以该选项错误；
C.若，，则
，所以该选项错误；
D.，，则
.所以该选项错误.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由复数，则
所以
故答案为:
13．答案：
解析：
所以，
所以.
故答案为：
14．答案：
解析：
所以复数的辐角主值为.
故答案为：.
15．答案：
解析：复数，，
则
.
所以的辐角主值为.
故答案为：.
16．答案：（1）1
（2）1
（3）
解析：（1）；
（2）；
（3）
.
17．答案：（1）
（2）1
解析：（1）原式
.
（2）原式
.
18．答案：或
解析：
.
当时，的三角形式为；
当时，的三角形式为.
19．答案：证明见解析
解析：证明：如图，设，，
则，，
.
20．答案：（1）0
（2）
（3）
（4）
解析：（1）复数对应的复数为，其辐角主值为0；
（2）复数对应的复数为，对应的点在y轴正半轴，其辐角主值为；
（3）复数对应的复数为，对应的点在x轴负半轴，其辐角主值为；
（4）复数对应的复数为，对应的点在y轴负半轴，其辐角主值为.

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